高考数学普通高等学校招生全国统一考试111

数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。

　　4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。　

　　5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

　　参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) .　　　　　　  　　　　　　

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B)　　　　　　　 　　　　　　　

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)=C^k_nP^k(1-P)^n-k

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(_uA)∪(_uB)=

(A){1,6}　　　　　　　　　　  (B){4,5}

(C){1,2,3,4,5,7}　　　　　　  (D){1,2,3,6,7}

　(2)在等差数列｛a_n｝中，若a_a+a_b=12,S_N是数列｛a_n｝的前n项和，则S_N的值为

（A）48　　　　 (B)54　　　　  (C)60　　　　  (D)66

(3)过坐标原点且与x²｜y²4x｜2y+=0相切的直线的方程为

（A）y=-3x或y=x　　　　　　　  (B) y=-3x或y=-x　

（C）y=-3x或y=-x　　　　　　　  (B) y=3x或y=x　

(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l

(A)平行　　　　　　　　　　　　　　（B）相交

(C)垂直　　　　　　　　　　　　　　 (D)互为异面直线

（5）若　ⁿ的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为

(A)-540　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(c)162　　　　　　　　　　　　　　　  (D)540

(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是

(A)20　　　　　　　　　　　　　　  (B)30

(C)40　　　　　　　　　　　　　　 （D）50

(7)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是

(A) 　　　　　　　　　　　(B) 或

（C）　　　　　　　　  （D）或

（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

（A）３０种　　　　　　　　　　　　（B）９０种

（C）１８０种　　　　　　　　　　　（D）２７０种

（９）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB

所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是　　　　  　　　

题　（９）图

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

（１０）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为

（A）-1　　　　　　　　　　　　　 (B) +1

(C) 2+2　　　　　　　　　　　　　 (D) 2-2

一、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上

（11）复数复数的值是_________.

 (12)_________.

(13)已知，sin()=－ sin则os=________.

(14)在数列｛a_n｝中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),则该数列的通项a_n=_________.

(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg^(x2-2n+1)_­ 有最大值.则不等式log_n(x²-5x+7) ＞0的解集为_______.

(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.

二、解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分13分）

设函数f(x)=cos²cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.

（１８）（本小题满分13分）

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5

位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：

（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；

（Ⅱ）随机变量ξ的期望.

（１９）（本小题满分１３分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.

（Ⅰ）试证：CD平面BEF;

（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.

（20）(本小题满分13分)

已知函数f(x)=(x²_­­+bx+c)c^x,其中b,cR为常数.　　　　　　　　图(19)图

（Ⅰ）若b²＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若b²＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.

(21)(本小题满分12分)

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x²+y_=f(x)-x²+x.

（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

(22)(本小题满分12分)

已知一列椭圆C_n:x²_­+=1. 0＜b_n＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点P_n使P_n到右准线l_n的距离d.是｜P_nF_n｜与｜P_nC_n｜的等差中项，其中F_n、C_n分别是C_n的左、右焦点.

（Ⅰ）试证：b_n≤　　　　 (n≥1);

（Ⅱ）取b_n＝，并用S_A表示P_nF_nG_n的面积，试证：S₁＜S₁且S_n＜S_n+3  (n≥3).

图(２２)图

（20）(本小题满分13分)

已知函数f(x)=(x²_­­+bx+c)c^x,其中b,cR为常数.

（Ⅰ）若b²＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若b²＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.

(21)(本小题满分12分)

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x²+y_=f(x)-x²+x.

（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

(22)(本小题满分12分)

已知一列椭圆C_n:x²_­+=1. 0＜b_n＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点P_n使P_n到右准线l_n的距离d.是｜P_nF_n｜与｜P_nC_n｜的等差中项，其中F_n、C_n分别是C_n的左、右焦点.

（Ⅰ）试证：b_n≤　　　　 (n≥1);

（Ⅱ）取b_n＝，并用S_A表示P_nF_nG_n的面积，试证：S₁＜S₁且S_n＜S_n+3  (n≥3).

图(２２)图

(18)(本小题13分)

解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.

由等可能性事件的概率公式得

P(ξ=0)==,　　 P(ξ=1)=

P(ξ=2)= =,　P(ξ=3)=

P(ξ=4)= =,　P(ξ=5)=

从而ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P

（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为

Eξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×

　 ==.

解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.

故ξ－B,即有

P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.

由此计算ξ的分布列如解法一.

解法三：　（Ⅰ）同解法一或解二.

（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.

即3Eξ=5,从而Eξ=.

（19）（本小题13分）

解法一：

（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.

又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别

PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 　　　第（19）图１

（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因

PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

设AB=a,则在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.

因S_△CBD=BD·GH=GB·OF.

故GH=.

在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a　　　　　　　　　　第（19）图２

而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得

GH== ＝

因此tanEHG==

由k＞0知是锐角，故要使＞，必须

＞tan=

解之得，k的取值范围为k＞

解法二：

（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为

A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　

·=0,故　.

设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故　　　　 第（19）３

E.从而=.

·=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.

从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).

设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即

x-2y=-a　　　①

又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即

2x+y=2a　　　②

由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.

由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即

＞

故k的取值范围为k＞.

(20)（本小题13分）

解：（Ⅰ）求导得f²(x)=［x²+(b+2)x+b+c］e^x.^.

因b²＞4(c-1),故方程f²(x)=0即x²+(b+2)x+b+c=0有两根；

x₁=－＜x₂=－

令f′（x）＞0，解得x＜x₁或x＞x₁；

又令f′（x）＞0，解得x₁＜x＜x_2.

故当xε（-, x₁）时，f(x)是增函数，当 xε（x_2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x₁ ， x₂）时，f(x)是减函数.

（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此

.

所以，由已知条件得

　　　　　 b+e=4

　　　　　 b²≤4(e-1),

因此b²⁺4b-12≤0.

解得-6≤b≤2.

(21)（本小题12分）

解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x² + x)=f(x)- x² +x，所以

f(f(2)- 2²+2)=f(2)- 2²+2.

又由f(2)=3，得f(3-2²+2)-3-2²+2，即f(1)=1.

若f(0)=a，则f(a-0²+0)=a-0²+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x² +x)=f(x)- x² +x.

又因为有且只有一个实数x₀,使得f(x₀)- x_0.

所以对任意xεR，有f(x)- x² +x= x_0.

在上式中令x= x₀,有f(x₀)-x + x₀₌ x_0,

又因为f(x₀)- x₀，所以x_0- x=0，故x₀₌0或x₀=1.

若x₀=0，则f(x)- x² +x=0，即

f(x)= x² –x.

但方程x² –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x₂≠0.

若x₂=1,则有f(x)- x² +x=1，即f(x)= x² –x+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为

f(x)= x² –x+1（xR）.

（22）（本小题12分）

证：（1）由题设及椭圆的几何性质有

　　　　

　　　　 设

　　　　 

因此，由题意应满足

即

即,

从而对任意

（Ⅱ）设点

　　　　　　 

　　　　　　　

得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.

　　　现在由题设取是增数列.又易知

　　　

故由前已证，知