高考数学普通高等学校招生全国统一考试112
数学试题卷（文史类）
数学试题（文史类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件
互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率：
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合
，
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）在等差数列
中，若
且
，
的值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线
相切的圆的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）若
是平面
外一点，则下列命题正确的是
（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直
（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行
（5）
的展开式中
的系数为
（A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160
（6）设函数
的反函数为
，且
的图像过点
，则的图像必过
（A） （B）
（C）
（D）
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A）2 （B）3 （C）5 （D）13
（8）已知三点
，其中为常数。若
，则
与
的夹角为
（A）
（B）
或
（C） （D）或
（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040
（10）若
，
,
，则
的值等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）设
是右焦点为
的椭圆
上三个不同的点，则“
成等差数列”是“
”的
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要
（12）若
且
，则
的最小值是
（A）
（B）3 （C）2 （D）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。
（13）已知
，
，则
。
（14）在数列
中，若
，
，则该数列的通项
。
（15）设
，函数
有最小值，则不等式
的解集为
。
（16）已知变量
，
满足约束条件
。若目标函数
（其中
）仅在点
处取得最大值，则
的取值范围为
。
三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为
、
、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
（18）（本小题满分13分）
设函数
（其中
）。且
的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）如果在区间
上的最小值为，求的值；
（19）（本小题满分12分）
设函数
的图像与直线
相切于点
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性。
（20）（本小题满分12分）
如图，在增四棱柱
中，
，
为
上使
的点。平面
交
于，交
的延长线于
，求：
（Ⅰ）异面直线
与
所成角的大小；
（Ⅱ）二面角
的正切值；
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为
的函数
是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求的取值范围；
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数，
是抛物线
上的点，过焦点的直线
角抛物线于另一点
。
（Ⅰ）试证：
；
（Ⅱ）取
，并记
为抛物线上分别以
与
为切点的两条切线的交点。试证：
；
普通高等学校招生全国统一考试
（重庆卷）数学（文史类）
参考答案
（1）—（12）DDCDB CCDBB AA
(13) -2 (14) 2n – 1 (15)
三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为：
（Ⅱ）这是n=3，p= 的独立重复试验，故所求概率为：
（18）（本小题满分13分）设函数
（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；
解：（I）
依题意得 
．
（II）由（I）知，
．又当
时，
，故
，从而在区间
上的最小值为
，故
（19）（本小题满分12分）
设函数的图像与直线相切于点。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性。
解：（Ⅰ）求导得
。
由于 的图像与直线相切于点，
所以
，即：
1-3a+3b = -11 解得: 
．
3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由得：
令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3.
故当x
（
, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,
）时，f(x)也是增函数，
但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.
（20）（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱中，
，为上使的点。
平面交于，交的延长线于，求：
（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；
（Ⅱ）二面角的正切值；
解法一：（Ⅰ）由
为异面直线与所成角．（如图1）
连接
．因为ＡＥ和分别是平行平面
，
所以AE//,由此得
（Ⅱ）作
于H,由三垂线定理知
即二面角的平面角.
.
从而
.
解法二：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图2）
因为
和AF是平行平面
，
所以
,由此得
（Ⅱ）
为钝角。
作
的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知
的平面角.
.
从而
.
解法三：（Ⅰ）以
为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，于是，
因为和AF是平行平面
，所以．设Ｇ（0,y,0）,则
,于是
.
故
.设异面直线与所成的角的大小为
,则:
,从而 
（Ⅱ）作
H,由三垂线定理知的平面角. 设H（a,b,0）,则:
.由得:
……①
又由
,于是
……②
联立①②得:
,
由
得:
.
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，
求的取值范围；
解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
，易知在
上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于
，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：
，
从而判别式
解法二：由（Ⅰ）知
．又由题设条件得：
，
即 ：
，
整理得 
上式对一切均成立，从而判别式
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数，是抛物线上的点，
过焦点的直线交抛物线于另一点。
（Ⅰ）试证：；
（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；
证明：（Ⅰ）对任意固定的
因为焦点F（0,1）,所以可设直线
的方程为
将它与抛物线方程联立得:
,由一元二次方程根与系数的关系得．
（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处
的切线的斜率
故在处的切线的方程为：
，……①
类似地，可求得在处的切线的方程为：
，……②
由②－①得：
，
……③
将③代入①并注意
得交点的坐标为
．
由两点间的距离公式得：
．
现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
