高考数学普通高等学校招生全国统一考试76
文科数学（全国卷Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题
（1）设
为全集，
是的三个非空子集，且
，则下面论断正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：∵
所表示的部分是图中蓝色
的部分，
所表示的部分是图中除去
的部分，
∴
，故选C．
（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为
，则球的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
解：∵截面圆面积为
，∴截面圆半径
，
∴球的半径为
，
∴球的表面积为
，故选Ｂ．
（3）函数
，已知
在
时取得极值，则
=
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解：
,令
=0,解得a=5,选(D)
（4）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
解：如图,过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DM⊥EF、CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积V为
，∵
，
，∴
，
作NH垂直于点H，则H为BC的中点，则
，∴
，∴
，
，
，∴
，故选A．
（5）已知双曲线
的一条准线为
，则该双曲线的离心率为
（A）
（B） （C）
（D）
解：由得
，∴
，抛物线
的准线为，因为双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，所以
，解得
，所以
，所以离心率为
，故选D．
（6）当
时，函数
的最小值为
（A）2 （B）
（C）4 （D）
解：
，当且仅当
，即
时，取“
”，∵
，∴存在
使，这时
，故选(C)．
（7）
反函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：由,得
,故的反函数为
,选(D)
（8）设
，函数
，则使
的的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：∵，，∴
，解得 
或
（舍去），
∴
，故选C．
（9）在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为
（A）
（B） （C）
（D）2
解：原不等式化为
或
，
所表示的平面区域如右图所示，
，
，
∴
，故选B
（10）在
中，已知
，给出以下四个论断：
①
②
③
④
其中正确的是
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
解：∵
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴①不一定成立，
∵
，∴，∴②成立，
∵
，∴③不一定成立，
∵
，∴④成立，故选B．
（11）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
，则点O是的
（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点
解：,即
得
,
即
,故
,
,同理可证
,∴O是的三条高的交点,选(D)
（12）设直线
过点
，且与圆
相切，则的斜率是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：设过点，且与圆相切的直线的斜率为k,则直线的方程为：y-kx+2k=0,k满足：1=
得k=
,选(D).
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3．本卷共10小题，共90分。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）若正整数m满足
，则m = 。
解：∵
，∴
，即
，
∴
，即 
，∴
．
（14）
的展开式中，常数项为
。（用数字作答
解： 的通项公式为
,令8-2r=0,得r=4,∴常数项为70.
（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种。
解：用剔除法.：
,∴从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有100种。
（16）在正方形
中，过对角线
的一个平面交
于E，交
于F，
①
四边形
一定是平行四边形
②
四边形有可能是正方形
③
四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④
四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）
解：①平面与相对侧面相交，交线互相平行，
∴四边形一定是平行四边形；
②四边形若是正方形，则
，又
，
∴
平面
，产生矛盾；
③四边形在底面ABCD内的投影是正方形
；
④当E、F分别是、的中点时，
，又
平面，
∴四边形有可能垂直于平面,∴填①③④.
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（17）（本大题满分12分）
设函数
图像的一条对称轴是直线
。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求函数
的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间
上的图像。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（18）（本大题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（19）（本大题满分12分）
已知二次函数的二次项系数为，且不等式
的解集为
。
（Ⅰ）若方程
有两个相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（20）（本大题满分12分）
9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为
，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（精确到
）
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（21）（本大题满分12分）
设正项等比数列
的首项
，前n项和为
，且
。
（Ⅰ）求的通项；
（Ⅱ）求
的前n项和
。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（22）（本大题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值。
