高考数学普通高等学校招生全国统一考试79

高考数学普通高等学校招生全国统一考试79

理科数学（必修+选修II）

第I卷（共60分）

参考公式：如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.

（1）

（A）　　　　 　　　　（B）　　　　  （C）1　　　 （D）

（2）函数的反函数图像大致是

（A）　　　　　　　　  （B）　　　　　　 （C）　　　　（D）

（3）已知函数，则下列判断正确的是

（A）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是

（B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是

（C）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是

（D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是

（4）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是

（A）　（B） （C）　（D）

（5）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是

（A）7　　　　  （B）　　　　 （C）21　　　　　 （D）

（6）函数，若则的所有可能值为

（A）1　　　　　 （B）　　　 （C）　　 （D）

（7）已知向量，且，，则一定共线的三点是

（A）A、B、D　　 （B）A、B、C　　 （C）B、C、D　 （D）A、C、D

（8）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为

（A）　　　　  （B）　　　　（C）　　　 （D）

（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是

（A）　　　　　  （B）　　　　  （C）　　　　 （D）

（10）设集合A、B是全集的两个子集，则是的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不充分也不必要条件

（11），下列不等式一定成立的是

（A）

（B）

（C）

（D）

（12）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为

（A）1　　　　　　　　　 （B）2　　　　　  （C）3　　　　（D）4

第II卷（共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.

（13）.

(14)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.

(15)设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是____________

(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：①若，则；②若则③若，则④是两条异面直线，若，则

上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知向量和，且求的值.

(18)(本小题满分12分)

袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.

（I）求袋中原有白球的个数；

（II）求随机变量的概率分布；

（III）求甲取到白球的概率.

（19）（本小题满分12分）

已知是函数的一个极值点，其中，

（I）求与的关系式；

（II）求的单调区间；

（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

(20)(本小题满分12分)

如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.

（I）求异面直线与所成的角；

（II）求平面与平面所成的二面角；

（III）求点到平面的距离.

（21）（本小题满分12分）

已知数列的首项前项和为，且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.

(22)(本小题满分14分)

已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

普通高等学校招生全国统一考试

（试题参考答案）

理科数学（必修+选修II）

一．选择题

1． [答案]　D

[思路] 本题考查复数的概念和基本运算，

.

2． [答案]　B

[思路] 本题考查反函数的概念及函数的图象。

，解得反函数,它的图象是将函数的图象向左平移1个单位后得到的 .

3． [答案]　B

[思路] 本题考查三角函数的变形及三角函数的图象的性质.

=,它的周期为T=π，对称中心的横坐标为x=, 当k=0时, 对称中心为.

4． [答案]　D

[思路] 本题考查函数的奇偶性和增减性.

，，所以它是奇函数，又在区间[－1, 1]上是单调递减的.

5． [答案]　C

[思路] 本题考查二项展开式的性质.

的展开式中各项系数之和为128，所以n=7，展开式中第7项为，∴ 的系数是21.

6． [答案]　C

[思路] 本题考查分段函数的应用，函数的值域等.

又将x=1代入得f(1)=1，∴ f(a)=1,

当－1<x<0时, ，当x≥0时，只有f(1)=1，

∴ 的所有可能值为1与－.

7． [答案]　A

[思路] 本题考查向量的概念及其运算.

，∴ A、B、D三点共线.

8． [答案]　D

[思路] 本题考查球面距离的运算.

求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠AOB=120°，∴ A、B两点间的球面距离为×2πR=.

9． [答案]　D

[思路] 本题考查概率的基本运算.

先求没有1人中奖的概率，，∴ 至少有1人中奖的概率是.

10． [答案]　A

[思路] 本题考查集合的基本知识及充分必要条件本题考查的判定.可以画出文氏图再作判断.

集合；而，完全可能A=B，所以选充分不必要条件.

11． [答案]　A

[思路] 本题考查对数函数的性质及绝对值不等式的应用.

∵ 0<a<1，∴ 1+a>1，0<1－a<1, ,

∴.

12．[答案]　B

[思路] 本题考查圆锥曲线与直线的位置关系.

直线关于原点对称的直线为：2x+y－2=0，该直线与椭圆相交于A(1, 0)和B(0, 2)，P为椭圆上的点，且的面积为，则点P到直线l’的距离为，在直线的下方，原点到直线的距离为，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x+y－2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q(, )，该点到直线的距离小于，所以在直线上方不存在满足条件的P点.

二．填空题

13．（ [答案]　

[思路] 本题考查极限的基本运算.

.

14．[答案]　

[思路] 本题考查双曲线的基本知识.

双曲线的右焦点为(c, 0)，右准线与两条渐近线交于P()、()两点，∵ FP⊥FQ，∴ ，∴ a=b, 即双曲线的离心率e=.

15．[答案]　

[思路] 本题考查平面区域的划分，在约束条件下目标函数的应用.

如图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围.

可知，在(2, 3) 点目标函数取得最大值.

16．[答案]　 ③④

[思路] 本题考查立体几何中直线与平面的位置关系.

（理科）①α//β，m，n两条直线可能异面；②若m，n两条直线平行，则平面α，β可能相交；③④均正确.

三．解答题

17.考查知识点：（三角和向量相结合）

解法一:

=

==

由已知,得又

　　　 　

 　　   

解法二：

=

=

==

由已知得

　　　 　

 　　   

18.（考查知识点：概率及分布列）

解:(I)设袋中原有个白球,由题意知

∴(－1)=6得或(舍去)即袋中原有3个白球.

(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

　　　　　　

　　　　　　　

所以的分布列为:

	1	2	3	4	5

(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

∵事件两两互斥，

∴

19.（考查知识点：函数结合导数）

解：(I)

∵是函数的一个极值点

∴,即

∴

（II）由（I）知，=

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

				1
		0		0
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.

（III）解法一：由已知得，即

∵

∴即①

设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

∴解之得又所以

即的取值范围为

解法二：由已知，得>3，即3(－1)［－(1+)］>3

∵<0

∴(－1)［－(1+)］<1　　　(*)

1°=1时，(*)化为0<1恒成立，∴<0

2°≠1时，∵［－1,1］，∴－2≤－1<0

(*)式化为<(－1)－

令=－1，则［－2,0)，记，则在区间［－2,0)是单调增函数

∴

由(*)式恒成立，必有，又<0，则

综合1°、2 °得

20．(考查知识点：立体几何)

解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系

由已知可得，

又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得

（I）因为所以=

易知异面直线所成的角为

（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由

即

∴

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，

∴距离=所以点到平面的距离为

解法二：(I)连结B₁D₁，过F作B₁D₁的垂线，垂足为K

∵BB₁与两底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直

∴

又

因此FK∥AE

∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角

连结BK，由FK⊥面BDD₁B₁得FK⊥BK

从而△BKF为Rt△

在Rt△B₁KF和Rt△B₁D₁中，由得

又BF=

∴∠BFK=

∴异面直线所成的角为

(II)由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG

∴∠AGD即为平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°

在平面AA₁B中，延长BF与AA₁交于点S

∵F为A₁B₁的中点，A₁F

∴A₁、F分别为SA、SB的中点，即SA=2A₁A=2=AB

∴Rt△BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即G、F重合。

易得AG=AF=SB=

在Rt△BAS中，AD=

∴∠AGD=

即平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小为。

(III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角所成的平面。

∴面AFD⊥平面BDF

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离

由AH·DF=AD·得

AH=

所以点到平面的距离为

21．（考查知识点:数列）

解：由已知可得两式相减得

即从而

当时，则，又所以

从而

故总有，又

从而即数列是等比数列；

（II）由（I）知

因为所以

从而=

=-=

由上-=

=12①

当时，①式=0所以；

当时，①式=-12所以

当时，又

所以即①从而

22．（考查知识点:圆锥曲线）

解：（I）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线

∴轨迹方程为；

（II）如图，设，由题意得（否则）且

∴直线的斜率存在，设其方程为

显然

将与联立消去，得

由韦达定理知　 ①

（1）当时，即时，

∴，

∴

由①知：

∴

因此直线的方程可表示为，即

∴直线恒过定点

（2）当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，则，

此时，直线的方程可表示为即

∴直线恒过定点

综上，由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.