高考数学普通高等学校招生全国统一考试80

高考数学普通高等学校招生全国统一考试80

试题精析详解

一、填空题（4分12=48分）

1、函数的反函数=__________.

见理1

2、方程的解是__________.

见理2

3、若满足条件，则的最大值是__________.

【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.

【正确解答】求的最大值，即求轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11

【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.

4、直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.

见理3

5、函数的最小正周期T=__________.

【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.

【正确解答】，得最小正周期为

【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.

6、若，，则=__________.

【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.

【正确解答】，，

.

【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.

7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是__________.

【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.

【正确解答】由题意可知，，，又，解得，

所求椭圆的标准方程为.

【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a、b、c、p、e的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..

8、某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）

见理8

9、直线关于直线对称的直线方程是__________.

【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可.

【正确解答】直线上的点（0，0）关于对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－，因此，直线关于直线对称的直线方程是：

，整理后得.

解法2设所求直线上任意点关于直线x=1对称点为则∵∴即x+2y-2=0

【解后反思】解法2是通法，详见理22.

10、在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________.

见理9

11、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________.

见理10

12、有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________.

见理11

二、选择题（4分4=16分）

13、若函数，则该函数在上是（　）

A．单调递减无最小值　　　　　　　　  B．单调递减有最小值

C．单调递增无最大值　　　　　　　　  D．单调递增有最大值

见理13

14、已知集合，，则等于（　）

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　　  D．

见理14.

15、条件甲：“”是条件乙：“”的（　）

A．既不充分也不必要条件B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲乙和乙甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.

【正确解答】解法1：甲乙：，

乙甲：

因此是充要条件，选B

解法2：∵，∴选B

【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若则A是B的充分条件或B是A必要条件；若则A是B的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.

16、用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，等于（　）

A．—3600　　　　  B．1800　　　　  C．—1080　　　　  D．—720

见理12

三、解答题（本大题满分86分）

17、（本题满分12分）已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，与平面ABCD所成角的大小为，求异面直线与MN所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【思路点拨】见理17.

【正确解答】联结B₁C,由M、N分别是BB₁和BC的中点,得B₁C∥MN,

　 ∴∠DB₁C就是异面直线B₁D与MN所成的角.

　 联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB₁⊥平面ABCD, ∠B₁DB是B₁D与平面ABCD所成的角, ∴∠B₁DB=60°.

在Rt△B₁BD中, B₁B=BDtan60°=2,

又DC⊥平面BB₁C₁C, ∴DC⊥B₁C,

在Rt△DB₁C中, tan∠DB₁C=,

∴∠DB₁C=arctan.

即异面直线B₁D与MN所成角的大小为arctan.

【解后反思】见理17.

18、（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位）.

【思路点拨】见理18.

【正确解答】原方程化简为,

　 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x²+y²+2xi=1-i,

　 ∴x²+y²=1且2x=-1,解得x=-且y=±,

　 ∴原方程的解是z=-±i.

　　【解后反思】见理18.

19、（本题满分14分）已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.

（1）求的值；

（2）当满足时，求函数的最小值.

【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力.

【正确解答】 (1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.

　 (2)由f(x)> g(x),得x+2>x²-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,

　 ==x+2+-5

　 由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立

　 ∴的最小值是-3.

【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如型.

20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，

（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

见理20

21、（本题满分16分）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.

（1）求抛物线方程；

（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M到直线AK的距离d与圆的半径比较为宜.

【正确解答】 (1) 抛物线y²=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.

　 ∴抛物线方程为y²=4x.

　 (2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),

　 又∵F(1,0), ∴k_FA=;MN⊥FA, ∴k_MN=-,

　 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,

　 ∴N的坐标(,).

(1)　  由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.

当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,

圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1

∴当m>1时, AK与圆M相离;

　当m=1时, AK与圆M相切;

　当m<1时, AK与圆M相交.

【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.

22、（本题满分18分）对定义域是、的函数、，规定：函数.

（1）若函数，，写出函数的解析式；

（2）求问题（1）中函数的值域；

（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.

见理21