高考数学普通高等学校招生全国统一考试81
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题
1、设集合
，
，则
A、
B、
C、
D、
2、若复数
（
是虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为
A、
2
B、4
C、6
D、6
3、给出下列三个命题
①
若
，则
② 若正整数
和
满足
，则
③ 设
是圆
上的任意一点，圆
以
为圆心，且半径为1。当
时，圆
与圆相切
其中假命题的个数为
A、0 B、1 C、2 D、3
4、设
、
、
为平面，为、、
直线，则
的一个充分条件是
A、
B、
C、
D、
5、设双曲线以椭圆
长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为
A、
B、
C、
D、
6、从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆
方程中的和，则能组成落在矩形区域
内的椭圆的个数是
A、43 B、72 C、86 D、90
7、某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为
A、
B、
C、
D、
8、要得到
的图象，只需将函数
的图象上所有的点的
A、横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）,再向左平行移动
个单位长度
B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
9、设
是函数
的反函数，则使
成立的
的取值范围为
A、
B、
C、
D、
10、若函数
在区间
内单调递增，则的取值范围是
A、
B、
C、
D、
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。
11、设
，则
__________。
12、若图，
平面
，
且
则异面直线PB与AC所成角的正切值等于__________。
13、在数列
中，
，
且
则
__________。
14、在直角坐标系xOy中，已知点A (0，1)和点B (3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且 OC = 2，则OC = __________。
15、某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
| 投资成功 | 投资失败 |
| 192次 | 8次 |
则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）。
16、设
是定义在R上的奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
__________。
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件
和
。求∠A和
的值。
18、（本小题满分12分）
已知：
。
（Ⅰ）当a = b时，求数列{
}的前n项和
；
（Ⅱ）求
。
19、（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱
中，
，
，侧面
与底面ABC所成的二面角为120
，E、F分别是棱
、
的中点。
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明EA∥平面
；
（Ⅲ）求经过
、A、B、C四点的球的体积。
20、（本小题满分12）
某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC = 80（米），塔所在的山高OB = 220（米），OA = 200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a，
。试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）。
21、（本题14分）
抛物线C的方程为
，过抛物线C上一点 
(
)作斜率为
的两条直线分别交抛物线C于
，
两点（P、A、B三点互不相同），且满足
（
≠0且
）。
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足
，证明线段PM的中点在y轴上
（Ⅲ）当
时，若点P的坐标为（1，1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标
的取值范围。
22、（本小题满分14分）
设函数
（Ⅰ）证明
其中为k为整数
（Ⅱ）设
为的一个极值点，证明
（Ⅲ）设在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
，证明：
2005年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | C | B | D | C | B | A | C | A | B |
详细解答过程如下：
1、首先
，否则
无意义，排除C。取特殊值
，排除A、C
本题答案选D
2、解法一：设
，则
，得：
，
解法二：非零向量
，
满足
是纯虚数的意思就是说，这两个非零向量互相垂直。根据题意得：
，从而
本题答案选C
3、① 用“分部分式”判断，具体：
，又
知本命题为真命题。
②
用基本不等式：
（
），取
，
，知本命题为真。
③
圆
上存在两个点A、B满足正弦
，所以P、
可能都在圆上，当在圆上时，圆圆相交。故本命题假命题。
本题答案选B
4、A选项：缺少条件
；
B选项：当
时，
；
C选项：当
两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），
时，
；
D选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行。本选项为真命题。
本题答案选D
5、双曲线
的两条渐进线是：
。根据题意：
，
，从而
，
本题答案选C
6、根据题意，
是不大于10的正整数、
是不大于8的正整数。但是当
时
是圆而不是椭圆。先确定，有8种可能，对每一个确定的，有
种可能。故满足条件的椭圆有
个。
本题答案选B
7、三次射击行为互不影响。击中两次的可能性为
，击中3次的可能性为
，经计算
本题答案选A
8、
的周期是
的周期的2倍，从周期的变化上知道横坐标应该伸长。排除A、B。
的横坐标伸长2倍后变成了
，
将化成正弦形式为
，根据口诀“左加由减”得
由向右移动
。
本题答案选C
9、
时，单调增函数，所以
。
本题答案选A
10、记
，则
当时，要使得是增数，则需有
恒成立，所以
。矛盾。排除C、D
当
时，要使得是增数，则需有
恒成立，所以
。
排除A
本题答案选B
二、填空题
| 题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 答案 |
|
| 2600 |
| 4760 | 0 |
详细解答过程如下：
11、
所求为：
本题答案填写：
12、将此多面体补成正方体
，
与
所成的角的大小即此正方体主对角线与棱
所成角的大小。
。
本题答案填写：
13、当为奇数时，
；当为偶数时，
因此，数列的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列
本题答案填写：2600
14、设
，则
的终边在第2象限，即
且
，
又
由
，得
所以：
，
得：
本题答案填写：
15、投资成功的概率是
，失败的概率是
，所以所求的数学期望应该是：
本题答案填写：4760
16、
得
假设
因为点（
，0）和点（
）关于对称，所以
因此，对一切正整数都有：
从而：
本题答案填写：0
三、解答题
17、解：
所以：
由：
得：
所以：
18、解：（I）当
时，
，它的前项和
①
①两边同时乘以，得
②
①
②，得：
若
，则：
得：
若，则
（II）当时，
当
时，设
（
），则：
此时：
当
时，即
时，
当
时，即时，
19、（I）解：过作平面
平面，垂足为
。连接
，并延长
交于
，连接
，于是
为
与底面所成的角。
因为，所以
为的
平分线
又因为，所以
，且为的中点
因此，由三垂线定理
因为
，且
，所以
，于是为
二面角
的平面角，即
由于四边形
为平行四边形，得
所以，与底面所成的角度为
（II） 证明：设与
的交点为
，则点P为EG的中点，连结PF。
在平行四边形
中，因为F是的中点，所以
而EP
平面，
平面，所以
平面
（III）解：连接
。在△
和△
中，
△
△
又因为平面，所以是△的外心
设球心为
，则必在
上，且
在Rt△
中，△
球的体积△
20、解：以O为原点，OA为轴、OB为
轴建立直角坐标系，各点坐标为：
（200，0），
（0，220），
（0，300）
直线的方程为：
设点P的坐标为（，
） （
）
直线PC的斜率
直线PB的斜率
由直线PC到直线PB的角的公式，得
由均值不等式：
当且仅当
时，即
时上式等号成立，这时，点P的纵坐标为
当
最大时，
最大。
所以，当此人距地面60米的时，观看铁塔的视角最大。
21、（I）解：由抛物线的方程
得，焦点坐标为（
），准线方程为
（II）证明：设直线PA的方程为
，直线PB的方程为
点
和点
的坐标是方程组
的解
将
代入得：
由韦达定理：
①
同理：
，又因为，所以
②
设点
的坐标为
，由，得
③
将
② 代入 ③ 得：
即：
。所以，线段
的中点在轴上
（III）解：因为点P（1，1）在抛物线上，所以
，抛物线的方程为
。
由
① 得：
，代入得
将代入 ② ，得
，代入得
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
于是：
，
因为
为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有
，即
解得
的范围为：
或
又点A的纵坐标满足，故
当时，
当时，
所以，为钝角时，点A的纵坐标的取值范围是
22、证明：（I）由于函数定义，对任意整数
，有
（II）函数在R上可导，
①
令
，得：
若
，则
，这与
矛盾，所以
。
当时，
②
由于函数
的图象和函数
的图象知，有解。
当
时，
（II）证明：由函数的图象和函数的图象知，对于任意整数，在开区间（
，
）内方程
只有一个根，
当
时，
，当
时，
而
在区间（，）内，要么恒正，要么恒负
因此时
的符号与时的符号相反
综合以上，得：的每一个根都是的极值点 ③
由得，当
时，
，即对于
时，
④
综合
③、④ ：对于任意
，
由：和
，得：
⑤
又：
，
但
时，
⑥
综合
⑤、⑥ 得：