高考数学普通高等学校招生全国统一考试83
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数
的最小正周期是(
)
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
解：T=
=π,选(B)
2．设全集
，则
＝( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
解：
={1,2,},故={1,2},选(A)
3．点
到直线
的距离是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
解：点到直线的距离d=
,选(D)
4．设
，则
＝( )
(A) 
(B)0 (C) (D)
1
解：
=
=0, =f(0)=1,选(D)
5．在
的展开式中，含
的项的系数是(
)
(A)
(B) 5 (C) 
(D)
10
解：
中x3的系数为10,
中x3的系数为-20,∴的展开式中x3的系数为-10,选(C)
6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
| 卡片号码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 取到的次数 | 13 | 8 | 5 | 7 | 6 | 13 | 18 | 10 | 11 | 9 |
则取到号码为奇数的频率是( )
(A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37
解：取到号码为奇数的频率是
=0.53,选(A)
7．设
为两个不同的平面，
为两条不同的直线，且
，有如下的两个命题：
①若
∥
，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．
那么
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题
(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
解：命题②有反例,如
图中平面α∩平面β=直线n,l
且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面α不垂直平面β
故②是假命题；命题①显然也是假命题,
因此本题选(D)
8．已知向量
，且
，则由x的值构成的集合是( )
(A)
(B)
(C) 
(D) 
解：由得
=0,即(x-5)·2+3×x=0解得x=2,选(C)
9．函数
的图象与直线
相切，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)1
解：由题意,得
有两个等实根,得a=
,选(B)
10．设集合
，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
解：由题意可知
得
由此可知A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
11．函数
的反函数是_________．
解：由y＝
(x∈R，且x≠－2),得x=
(y∈R,y≠1),所以函数y＝(x∈R，且x≠－2)的反函数是f-1=
(x∈R,x≠1).
12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．
解：如左图,在平面AED内作MQ∥AE交ED于Q,则MQ⊥ED,且Q为ED的中点,连结QN,则NQ⊥ED且QN∥EB,QN=EB,∠MQN为二面角A－DE－B的平面角,
∴∠MQN=45°∵AB⊥平面BCDE,又∠AEB=∠MQN=45°,MQ=
AE=
EB,在平面MQN内作MP⊥BQ,得QP=MP=EB,故PB=QP=EB,故QMN是以∠QMN为直角的等腰三角形,即MN⊥QM,也即MN子AE所成角大小等于90°
13．过双曲线
的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
解：由题意可得
,即c2-a2=a2+ac,化成关于e的方程e2-e-2=0,解得e=2
12．从集合
与
中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)
解：分三种情况：情况1.不含Q、0的排列：
；情况2.0、Q中只含一个元素Q的排列：
；情况3.只含元素0的排列：
.综上符合题意的排法种数为
++=5832
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知函数
．
(Ⅰ)
求
的值；
(Ⅱ)
设
，求
的值．
解：(Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴
(Ⅱ)
,
,∵α∈(0,π),∴sinα>0,故sinα=
16．已知实数
成等差数列，
成等比数列，且
，求．
解： 
由(1)(2)两式,解得b=5,将c=10-a代入(3),整理得a2-13a+22=0,解得a=2或a=11.
故a=2,b=5,c=11或a=11,b=5,c=-1.经验算,上述两组数符合题意.
17．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
，求p的值．
解：(Ⅰ)(i)
(ii)
(iii)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,
由
,得p=
.
18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；
(Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．
解：解法一
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC
平面PAB,∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,sin∠ODF=
,∴PA与平面PBC所成角为arcsin
解法二：
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(
a,0,0).
B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).
(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴
又
∥
,
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵k=
则PA=2a,∴h=
∴
可求得平面PBC的法向量
∴cos
.
设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=cos(
)=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，MA1∶A1F1＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．
解：(Ⅰ)设椭圆的方程为
(a>0,b>0),半焦距为c,则MA1=
,A1F1=a-c
由题意,得
∴a=2,b=
,c=1.
故椭圆的方程为
(Ⅱ)设P(-4,y0),y0≠0,
∴只需求tan∠F1PF2的最大值即可.
设直线PF1的斜率k1=
,直线PF2的斜率k2=,
∵0<∠F1PF2<∠PF1M<
,∴∠F1PF2为锐角.
∴tan∠F1PF2=
当且仅当
,即y0=
时,tan∠F1PF2取到最大值此时∠F1PF2最大,∴
∠F1PF2的最大值为arctan
.
20．已知函数
和
的图象关于原点对称，且
．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)解不等式
；
(Ⅲ)若
在
上是增函数，求实数
的取值范围．
解：解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y),
则
即
∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,
∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－x－1可得2x2-x-1≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解,
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
② 当λ≠-1时,对称轴的方程为x=
.
(i)
当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1.
(ii)
当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0