高考数学普通高等学校招生全国统一考试84

高考数学普通高等学校招生全国统一考试84

　　　 数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.

注意事项：

　　　 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

　　　 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

　　　 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

　　　 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

　　　 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)　　　　　　　　　　　 

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)　　　　　　　　　

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概

率　　　　 

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

解：∵圆的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆关于原点对称的圆为(x-2)²+y²=5,选(A).

2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．－

解：∵=-i,∴(-i)²⁰⁰⁵=,选(A)

3．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．D．（－2，2）

解：∵函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且,∴f(-2)=0, 在上的x的取值范围是,又由对称性,∴在R上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)

4．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　 B．　　　　　 C．　　　D．－

解：∵D(5,2),,

∴cos(180°-∠DAC)=,∴∴∠DAC=,即向量与的夹角为,选(C)

5．若x，y是正数，则的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．

解：≥2(x+)(y+)≥8=4当且仅当,得x=y=时等号成立,选(C)

6．已知、均为锐角，若的　　　　（　　）

　　　 A．充分而不必要条件　　　　　　　　　　　　　　 B．必要而不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解：∵由、均为锐角，得0<α<α+β< ∴sin(α+β)>sinα,但、均为锐角，sinα<sin(α+β),不一定能推出α+β<,如α=,β=就是一个反例,选(C)

7．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

　　　 ①存在平面，使得、都垂直于；

　　　 ②存在平面，使得、都平行于；

　　　 ③内有不共线的三点到的距离相等；

　　　 ④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，

　　　 其中，可以判定与平行的条件有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．1个　　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　　　D．4个

解：命题①③是真命题,选(B)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8．若ⁿ展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于　 （　　）

　　　 A．4　　　　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　　　　C．8　　　　　　　　　　　　D．10

解：令n-2k=-2,n=2k-2,,令n-2r= -4,n=2r-4由题意得,,∵r-k=1,∴化简得解得k=4,∴n=6.选(B)

9．若动点（）在曲线上变化，则的最大值为　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．2

解：由题意可设x=2cosα,y=bsinα,则x²+2y=4cos²α+2bsinα=-4sin²α+2bsinα+4

=-2(sin²α-bsinα-2)=-2(sinα-)²+4+,∴的最大值为,选(A)

10．如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱

AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使

AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为

三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱

锥O—BCD的体积等于　　　　（　　）

A．　　　　　　　　　　　B．

C． 　　　　　　　　　　D．

解：如图,BM是平面BCG与平面BDF的交线,CL是平面BCG与平面CDE的交线,则BM子CL的交点即为O.作EG⊥平面BCD,LN⊥平面BCD,OQ⊥平面BCD,设A到平面BCD的高为h,由题意可知

EK=,LN=,∵,∴

∴OQ=,∴,选(C)

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

11．集合R ，则=　　　　 .

解：由题意可知A=(-2,3),B=(0,4),∴=.

12．曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为=　　　　　　 .

解：∵=3x²,∵在(a,a³)处切线为y-a³=3a²(x-a),令y=0,得切线与x轴交点(),切线与直线x=a交于(a,a³),∴曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为S=,令S=,解得a=±1.

13．已知、均为锐角，且=　　　　　　 .

解：由已知得1-tanαtanβ=tanα-tanβ,∴tanα=.

14．=　　　　　　　 .

解：=

15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为　　　　　  .

解：4位乘客进入4节车厢共有256种不同的可能,6位乘客进入各节车厢的人数恰为0,1,2,3的方法共有,∴这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为.

16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是　　　　 （填写所有正确选项的序号）.

　　　 ①菱形　　　　　　　　　　 ②有3条边相等的四边形　　　　　　　③梯形

　　　 ④平行四边形　　　　　 ⑤有一组对角相等的四边形

解：①菱形不可能,如果这个四边形是菱形,这时菱形的一条对角线垂直抛物线的对称轴,这时四边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点); ④平行四边形,也不可能,因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行.故连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是②③⑤.

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分13分）

　　　 若函数的最大值为2，试确定常数a的值.

18．（本小题满分13分）

　　　 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

　 （Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.

19．（本小题满分13分）

　　　 已知，讨论函数的极值点的个数.

20．（本小题满分13分）

　　　 如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：

　 （Ⅰ）异面直线AB与EB₁的距离；

　 （Ⅱ）二面角A—EB₁—A₁的平面角的正切值.

21．（本小题满分12分）

　　　 已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

　 （Ⅰ）求双曲线C₂的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

22．（本小题满分12分）

　　　 数列{a_n}满足.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：；

（Ⅱ）已知不等式，其中无理数

e=2.71828….

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

一、选择题：每小题5分，满分50分.

1．A　2．A　3．D　4．C　5．C　6．B　7．B　8．B　9．A　10．C

二、填空题：每小题4分，满分24分.

11．　　 12．　　 13．1　　 14．－3　　 15．　16．②③⑤

三、解答题：满分76分.

17．（本小题13分）

18．（本小题13分）

　　　 解法一：

　 （Ⅰ），即该顾客中奖的概率为.

（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

 

	0	10	20	50	60
P

故有分布列：

从而期望

解法二：

　 （Ⅰ）

（Ⅱ）的分布列求法同解法一

由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16（元）.

19．（本小题13分）

　　　

（1）当

x		x1
	+	0	－	0	+
		为极大值		为极小值

即此时有两个极值点.

（2）当有两个相同的实根

于是

无极值.

（3）

为增函数，此时无极值. 因此当无极值点.

20．（本小题13分）

　　　 解法一：

　 （Ⅰ）因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE.

又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁内的射影为EB.

由三垂线定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是异面直线

AB与EB₁的公垂线，

在平行四边形BCC₁B₁中，设EB=x，则EB₁=，

作BD⊥CC₁，交CC₁于D，则BD=BC·

在△BEB₁中，由面积关系得.

（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C₁重合，由题意舍去.

因此x=1，即异面直线AB与EB₁的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG//B₁A₁，则GE⊥面BCC₁B，故GE⊥EB₁且GE在圆A₁B₁E内，

又已知AE⊥EB₁

故∠AEG是二面角A—EB₁—A₁的平面角.

因EG//B₁A₁//BA，∠AEG=∠BAE，故

解法二：

（Ⅰ）

而BB₁C₁C得AB⊥EB₁从而=0.

　　　 设O是BB₁的中点，连接EO及OC₁，则在Rt△BEB₁中，EO=BB₁=OB₁=1，

　　　 因为在△OB₁C₁中，B₁C₁=1，∠OB₁C₁=，故△OB₁C₁是正三角形，

　　　 所以OC₁=OB₁=1，

　　　 又因∠OC₁E=∠B₁C₁C－∠B₁C₁O=故△OC₁E是正三角形，

　　　 所以C₁E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1，

　　　 即异面直线AB与EB₁的距离是1.

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB₁—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，

BE=1，得tanAEB=.

又由已知得平面A₁B₁E⊥平面BB₁C₁C，

故二面角A—EB₁—A₁的平面角，故

解法三：

　 （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

　　　 由于BC=1，BB₁=2，AB=，∠BCC₁=，

　　　 在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中有

　　　 B（0，0，0），A（0，0，），B₁（0，2，0），

　　　

　　　 设

　　　

又AB⊥面BCC₁B₁，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB₁的公垂线，

则，故异面直线AB、EB₁的距离为1.

（II）由已知有故二面角A—EB₁—A₁的平面角的大小为向量

的夹角.

21．（本小题12分）

解：（Ⅰ）设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

（II）将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即　　　　　　 ①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

　　　　　 

解此不等式得

　　　　③

由①、②、③得

故k的取值范围为

22．（本小题12分）

　 （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.

　 （2）假设当时不等式成立，即

那么.　这就是说，当时不等式成立.

根据（1）、（2）可知：成立.

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

　故　

上式从1到求和可得

即

（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证成立，故

令

取对数并利用已知不等式得　

上式从2到n求和得　

因

故成立.