高考数学普通高等学校招生全国统一考试85
数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆
关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵圆的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆关于原点对称的圆为(x-2)2+y2=5,选(A).
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
,选(D)
3．若函数
是定义在R上的偶函数，在
上是减函数，且
，则使得
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．（－2，2）
解：∵函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且
,∴f(-2)=0, 在上
的x的取值范围是
,又由对称性
,∴在R上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)
4．设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于 （ ）
A．（1，1） B．（－4，－4） C．－4 D．（－2，－2）
解：（a·b）（a+b）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B)
5．不等式组
的解集为 （ ）
A．
B．
C．
D．
解∵x-2<2的解集为(0,4),log2(x2-1)>1的解集为
,∴不等式组的解集,选(C)
6．已知
均为锐角，若
的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：∵由
、
均为锐角，
得0<α<α+β<
∴sin(α+β)>sinα,但、均为锐角，sinα<sin(α+β),不一定能推出α+β<
,如α=
,β=
就是一个反例,选(C)
7．对于不重合的两个平面
，给定下列条件：
①存在平面
，使得α、β都垂直于；
②存在平面，使得α、β都平行于；
③存在直线
，直线
，使得
；
④存在异面直线l、m，使得
其中，可以判定α与β平行的条件有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：命题①③是真命题,选(B)
8．若
展开式中含
的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
解：的项的系数为
,x的项的系数为
,由题意得=8解之得n=5,选(A)一了
9．若动点
在曲线
上变化，则
的最大值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意可设x=2cosα,y=bsinα,则x2+2y=4cos2α+2bsinα=-4sin2α+2bsinα+4
=-2(sin2α-bsinα-2)=-2(sinα-
)2+4+
,∴
的最大值为
,选(A)
|
示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面
各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形
的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则
该塔形中正方体的个数至少是 （ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
解：k层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k层塔形的
表面积一览表如下：
| 第k个立方体边长ak | a!=2 | a2= | a3=1 | a4= | a5= | a6= |
| 第k层立方体增加的面积bk | b1=24 | b2=8 | b3=4 | b4=2 | b5=1
| b6= |
| K层塔形的表面积Sk | S1=24 | S2=32 | S3=36 | S4=38 | S5=39 | S6= |
由上表可以看出要使塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则
该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
11．若集合
，则
.
解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A∩B={x2<x<3}
12．曲线
在点（1，1）处的切线与x轴、直线
所围成的三角形的面积为
.
解：∵
=3x2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x轴交点(
),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线
处的切线与x轴、直线
所围成的三角形的面积为S=
..
13．已知均为锐角，且
.
解：由已知得1-tanαtanβ=tanα-tanβ,∴tanα=
.
14．若
的最大值是
.
解：令x=2cosα,y=2sinα,则x-y=2cosα-2sinα=2
sin(
)≤2,∴若的最大值是2
15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .
解；P=
16．已知
是圆
为圆心）上一动点，线段AB的垂直平
分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
解：由题意可知,动点P的轨迹是椭圆,这个椭圆的焦点是A(-
,0)和F(,0),定长2a=圆F的半径2,因而动点P的轨迹方程为
三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分13分）
若函数
的最大值为
，试确定常数a
的值.
18．（本小题满分13分）
加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为
、
、
，
且各道工序互不影响.
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的
概率.
19．（本小题满分13分）
设函数
R.
（1）若
处取得极值，求常数a的值；
（2）若
上为增函数，求a的取值范围.
20．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上
|
求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.
21．（本小题满分12分）
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其
中O为原点）. 求k的取值范围.
22．（本小题满分12分）
数列
记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列
的通项公式及数列
的前n项和
数学试题（文史类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分.
1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.A 10.C
二、填空题：每小题4分，满分24分.
11．
12．
13．1 14．
15．
16．
三、解答题：满分76分.
17．（本小题13分）
解：
因为的最大值为
的最大值为1，则
所以
18．（本小题13分）
（Ⅰ）解：
；
（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为
，由独立重复试验的概率公式得：
恰好取到一件合格品的概率为 
，
至少取到一件合格品的概率为 
解法二：
恰好取到一件合格品的概率为，
至少取到一件合格品的概率为 
19．（本小题13分）
解：（Ⅰ）
因取得极值， 所以
解得
经检验知当
为极值点.
（Ⅱ）令
当
和
上为增
函数，故当
上为增函数.
当
上为增函
|
上也为增函数.
综上所述，当
上为增函数.
20．（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE
是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知
EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.
设DE=x，因△DAE∽△CED，故
（负根舍去）.
从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，
故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.
因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.
因此∠EHG为二面角的平面角.
在面PDC中，PD=
，CD=2，GC=
因△PDC∽△GHC，故
，
又
|
即二面角E—PC—D的大小为
解法二：
（Ⅰ）以D为原点，
、
、
分别为x、y、
z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D（0，0，0），P（0，0，
，
C（0，2，0）设
由
，
即
由
，
又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得
，故异面直线PD、
CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由
得
即
作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），
则
由
，
又由F在PC上得
因
故平面E—PC—D的平面角
的大小为向量
的夹角.
故
即二面角E—PC—D的大小为
21．（本小题12分）
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即
① 设
，则
而
于是
②
由①、②得 
故k的取值范围为
22．（本小题12分）解法一：
（I）
（II）因
，
故猜想
因
，（否则将
代入递推公式会导致矛盾）
故
的等比数列.
, 
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
从而
