高考数学普通高等学校招生全国统一考试58

高考数学普通高等学校招生全国统一考试58

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

（1） 若U＝{1,2,3,4}, M＝{1,2},N＝{2,3}, 则（MN）＝

　 　 （A） {1,2,3}　　 （B） {4}　　　　 （C） {1,3,4}　　　（D） {2}

（2）直线y＝2与直线x+y—2＝0的夹角是

　　 （A）　　　　（B）　　　 （C）　　　 （D）

（3） 已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则＝

（A） –4　　　（B） –6　　  （C） –8　　（D） –10

（4）已知向量且∥，则＝

　　（A）　　（B）　　　　（C）　 （D）

（5）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为

  　（A）（　　  （B）（　　（C）（ （D）（

（6）曲线y²＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是

（A）y²＝8--4x　（B）y²＝4x—8　 （C）y²＝16--4x　（D）y²＝4x—16

 （7） 若展开式中存在常数项,则n的值可以是

　　 （A） 8　　　　 （B） 9　　　　  （C） 10　　　　  （D） 12

 （8）“”是“A＝30º”的

　　  （A） 充分而不必要条件　　　 （B） 必要而不充分条件

　　  （C） 充分必要条件　　　　　 （D） 既不充分也必要条件

 （9）若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a＝

（A）　　  （B） 　　 （C）　　 （D）2

（10）如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中已知AB＝1，D在棱BB₁上，且BD＝1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为α，则α＝

 （A）

　　  （B）

　　  （C）

　　  （D）

（11）椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被点（，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为

　（A）　　  （B）　　  （C）　　  （D）

（12）若和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是

　 （A）　 （B）　　（C）　 （D）

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。把答案填在题中横线上。

（13）已知则不等式的解集是　　　　 。

（14）已知平面上三点A、B、C满足＝3,＝4,＝5，则·＋·＋·的值等于　　　　。

（15）已知平面α⊥β， ＝，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为　　　　　　　　  。

（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有　　　　 种（用数字作答）。

　 三. 解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。　

（17）（本题满分12分）

　 已知数列的前n项和为

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求证数列是等比数列。

 （18）（本题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值。

（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点。

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（20）（本题满分12分）

某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）。假定工厂之间的选择互不影响。

（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；

（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。

（21）（本题满分12分）

已知a为实数，

（Ⅰ）求导数；

（Ⅱ）若，求在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。

（22）（本题满分14分）

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程。

　

数学（文史类）答案

一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分。

 1.B　2.A　 3. B　4.A  5.A　6.C　7.C  8.B　9.D　10.D　11D  12. B

二.填空题 （本大题共4小题,每小题4分,共16分）

  13.　　14. –4　　15.　　　16. 5

 三.解答题

 17. 解: （Ⅰ）由,得

  ∴

  又,即,得

  .

  （Ⅱ）当n>1时,

  得所以是首项,公比为的等比数列.　 （12分）

 

（18）　解: （Ⅰ）

　　　　＝

　　　　＝

　　  　＝

　　　　＝

（Ⅱ） ∵

∴,

又∵

∴

当且仅当 b＝c＝时,bc＝,故bc的最大值是.

（19） （满分12分）

 方法一

解: （Ⅰ）记AC与BD的交点为O,连接OE,

　 ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AM∥OE，

∵ BD⊥AC，BD⊥EC，

∴ BD⊥平面AEC，

又OE平面AEC，∴BD⊥OE，

连OF，

∵ AB＝，AF＝1，

∴ AC＝2，则OC＝1，

∴OE＝，同理OF＝

而EF＝2，

∴ △EOF是等腰直角三角形，

∴ OE⊥OF，而OF平面BDF，

∴ OE⊥平面BDF，即AM⊥平面BDF.

（Ⅲ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

在RtΔASB中，

∴

∴二面角A—DF—B的大小为60º。

方法二

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设，连接OE，

则点O、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

 ∴＝（,

又点A、M的坐标分别是

（）、（

　∴ ＝（

∴＝且NE与AM不共线，

∴OE∥AM。

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

（Ⅱ）∵＝，又点F的坐标为（，，1）

∴ ＝（，0，1），

∵ ·＝（·＝0

·＝（·（，0，1）＝0

∴ ⊥，⊥，又BF∩DB＝D

∴ AM⊥平面BDF。

（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF。

∴为平面DAF的法向量。

∵·＝（·＝0，

∴·＝（·＝0得

⊥，⊥，

∴为平面BDF的法向量。

∴cos<, >＝

∴与的夹角是60º。

即所求二面角A—DF—B的大小是60º。

 

（20）　　解: （Ⅰ）设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,

则.

（Ⅱ）设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,

则

因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是,

所以　（12分）

（21） 解: （Ⅰ）由原式得

 ∴

（Ⅱ）由 得,此时有.

由得或x＝-1 , 又

所以f（x）在[--2,2]上的最大值为最小值为

（Ⅲ）解法一: 的图象为开口向上且过点（0,--4）的抛物线,由条件得

即　∴--2≤a≤2.

所以a的取值范围为[--2,2].

解法二:令即 由求根公式得:

所以在和上非负.

由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,

从而x₁≥-2,　x₂≤2,

即 解不等式组得: --2≤a≤2.

∴a的取值范围是[--2,2].

（22） （满分14分）

解: （Ⅰ）由条件得直线AP的方程（即.又因为点M到直AP的距离为1,所以

得.

∵ ∴≤≤2,

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.

∴m的取值范围是

（Ⅱ）可设双曲线方程为

由

得.

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP＝45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，（不妨设P在第一象限）

直线PQ方程为。

直线AP的方程y＝x-1,

∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，

所以所求双曲线方程为

即