高考数学普通高等学校招生全国统一考试71
第一卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式
若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
一组数据
的方差
其中
为这组数据的平均数值
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则
（A）{1,2,3} （B）{1,2,4} （C）{2,3,4} （D）{1,2,3,4}
（2） 函数
的反函数的解析表达式为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3） 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝
（A）33 （B）72 （C）84 （D）189
（4） 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1则点A到平面A1BC的距离为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5） △ABC中，
则△ABC的周长为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6） 抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
（A）
（B）
（C）
（D）0
（7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016
（8） 设
为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若
则
∥
；
②若
∥
∥
则∥；
③若∥
则
∥；
④若
∥
则m∥n.
其中真命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是
（A）10 （B）40 （C）50 （D）80
（10） 若
则
（A）
（B）
（C）
（D）
（11） 点P（-3,1）在椭圆
的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为
（A）
（B） (C)
（D）
（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为
（A）96 （B）48 （C）24 （D）0
参考答案：DACBD CDBCA AB
第二卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在答题卡相应位置。
（13）命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为 .
（14）曲线
在点（1,3）处的切线方程是
.
（15）函数
的定义域为
.
（16）若3a=0.618,a∈
,k∈Z，则k=
.
（17）已知a,b为常数，若
则
.
（18）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则
的最小值是 .
三、解答题：本大题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（19）（本小题满分12分）
如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得
试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
（20）（本小题满分12分，每小问4分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
和
假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
（21）（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二、第三小问满分各4分）
如图，在五棱锥S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=,
∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.
（Ⅰ）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）证明BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小（本小问不必写出解答过程）
.
（22）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知
函数
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.
（23）（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
其中A,B为常数.
（Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ）证明数列{an}为等差数列；
（Ⅲ）证明不等式
对任何正整数m、n都成立.
江苏高考考数学试卷解析
第一卷
1． 答案：D
[评述]：本题考查交集、并集等相关知识。
[解析]：因为A
，所以（A
，故选D.
2.答案:A
[评述]:本题考查由原函数的解析式,去求其反函数的解析式的求法.
[解析]:由
得
,则
,
所以其反函数为:
,即
.故选A.
3.答案:C
[评述]:本题考查了等比数列的相关概念,及其有关计算能力.
[解析]:设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,
求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4
故选C.
4.答案:B
[评述]:本题考查了正三棱柱ABC-A1B1C1中,点到平面的距离,可以转化为三角形中利用面积公式计算,或利用“等积代换法”计算等。
[解析]：如图，作AM
，连接A1M.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易证平面AMA1垂直于平面A1BC,再证AN
,即AN为点A到平面A1BC的距离.在直角三角形AA1M中,易求得:AN=
.或利用等积代换法:由
,可求点A到平面A1BC的距离.故选B.
5.答案:D
[评述]:本题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用。
[解析]：在
中，由正弦定理得：
化简得AC=
，化简得AB=
，
所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+
+
=3+
故选D.
6.答案:B
[评述]:本题考查了抛物线的定义,抛物线的性质等相关知识的综合运用.
[解析]:由题意抛物线为:
,则焦点为F(0,
,准线为:y=
;
由抛物线上的点M(x0,y0)到焦点的距离与到准线的距离相等,推得:
,
即M点的纵坐标为
故选B.
7.答案:D
[评述]:本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等。
[解析]：7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：
9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.7
则平均数为：
，即
。
方差为：
即 
， 故选D.
8.答案:B
[评述]:本题考查了立体几何中面面垂直、平行的性质和判定；线面平行的性质及相关线线、线面平行的判定等，同时考查了空间想象能力，综合推理能力等。
[解析]：（1）由面面垂直知，不正确；
（2）由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；
（3）由线面平行判定定理知，正确；
（4）由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确。
综上所述知，（3），（4）正确，故选B。
9．答案：C
[评述]：本题考查了二项式定理的展开式及各项系数等知识的综合运用。
[解析]：
=
，
比较系数知：xk (k=1,2,3,4,5) 的系数不可能为：50，故选C。
10.答案：A
[评述]：本题考查三角函数两角和公式，倍角公式及三角恒等变形和相关计算能力。
[解析]
=
-1
=2
（# ）
又由题意知：
则
即
所以：（# ）=
， 故选A。
11．答案：A
[评述]：本题考查了椭圆的定义，性质，向量与解析几何知识交汇综合运用，同时考查了理性思维，综合计算技能，技巧等。
[解析]：如图,过点P（-3，1）的方向向量
所以
， 即
联立：
，
由光线反射的对称性知：
|
，即
令y=0,得F1（-1，0）
综上所述得： c=1，
所以椭圆的离心率
故选A。
12.答案：B
[评述]：本题考查了排列组合综合运用问题，可以画出四棱锥标出8个数字帮助直观分析，注意分类要全面准确,抓住问题实质。
[解析]：由题意分析，如图,先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有
种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:
7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③，
5放入④两种放法。综上所述:共有
种放法.故选B.
 |
第二卷
13．答案：若
[评述]：本题考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题。
[解析]：由题意原命题的否命题为“若”。
14．答案：4x-y-1=0
[评述]：本题考查了一阶导数的几何意义，由线y=f(x)在点P（x0,y0）处的一阶导数值
为曲线y=f(x)在点P处切线的斜率，同时考查了直线方程的求法。
[解析]：由题意得
即曲线y=x3+x+1在点（1，3）处切线的斜率K=4，所以切线方程为：
y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.
15.答案：
[评述]：本题综合考查了函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法等相关知识的综合运用。
[解析]：由题意得：
则由对数函数性质得：
即
求得函数的定义域为：。
16．答案：-1
[评述]：本题考查指数函数的性质，及数形结合解题思想。
[解析]：如图观察分析指数函数y=3x的图象，函数值为0。168
上，与3a=0.168,
17.答案：2
[评述]：本题考查了复合函数解析式的运用，待定系数法及其相关计算能力。
[解析]：由f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,
得：（ax+b）2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,
即：a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24,
比较系数得：
求得：a=-1,b=-7, 或a=1,b=3，则5a-b=2.
18.答案:-2
[评述]:本题考查了向量与解析几何知识交汇问题,可利用向量的性质,结合均值不等式知识综合求解;或者选取特殊三角形,把向量式转化为二次函数关系式,利用二次函数求出其最小值.
[解法一]:如图,
|
即
的最小值为:-2.
[解法二]: 选取如图等腰直角三角形ABC,由斜边上的中线AM=2,
则A(0,0) ,B(2
,0), C(0,2
, M(
,
设O(x,y), (且x=y, x
),
则
=(
=
=
.
设f(x)=4x2-4
,
,结合二次函数图象知:当x=
时,
f(x)min=4
19.[分析]：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝
,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：
,设P(x,y)由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程.
[解析]:以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
 |
则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，
因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y）
则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即
综上所述，所求轨迹方程为：（或
）
[评析]:本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等。
20．[分析]：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解。第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式。
[解析]：(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故
=
答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：
（2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B2，则
P
由于甲乙射击相互独立，故 
答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为
（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3“乙第i次射击末中”为
事件Di（I=1,2,3,4,5）,则A3=
，且
由于各事件相互独立，故
答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为
[评析]：本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
21．[分析]：本题是一道立体几何题,第一问转化在
中,由余弦定理求出线线角;第二问证BC和平面SAB中两条相交线垂直;第三问求二面角,可利用空间向量法求解更方便.
[解答]：（1）连结BE，延长BC、ED交于点F，则
，
又BC=DE， 
，因此，
为正三角形，
，
∥CD
所以
（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角
底面ABCDE，且SA =AB=AE=2，
同理
，
又
所以BE=2
，从而在中由余弦定理得：
， 
所以异面直线CD与SB所成的角为：
（2）由题意，
是等腰三角形，，
所以
又
,
,所以
,
,
(3)二面角B-SC-D的大小为:
另解法---向量解法:
(1) 连结BE，延长BC、ED交于点F，则，
又BC=DE， ，因此，为正三角形，
因为是等腰三角形,且
以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系（如图），则
A（0，0，0）， B（2，0，0） S（0，0，2），且C（2，，0）
D(
,于是
则
所以异面直线CD与SB所成的角为：
(2)
,
(3)二面角B-SC-D的大小为
.
[评析]:本小题主要考查了异面直线所成的角,线面垂直,二面角等相关基础知识;以及空间线面位置关系的证明,角和距离的计算,考查空间想象能力,逻辑推理能力和运算能力;同时设计了一道既可以利用传统的方法求解,又可以利用向量求解的立体几何题.
22.[分析]:本题是一道函数与导数综合运用问题,第一问对x进行讨论,得出方程,进而求出x的值;第二问对a进行讨论,结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数的最小值.
[解答]:
(Ⅰ)由题意,f(x)=x2
当x<2时,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;
当x
综上所述,所求解集为
.
(Ⅱ)设此最小值为m.
①当
因为:
则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..
②当1<a
.
③当a>2时，在区间[1，2]上，
若
在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，
由此得：m=f(1)=a-1.
若2<a<3,则
当
当
因此，当2<a<3时，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
当
;
当
综上所述，所求函数的最小值
[评析]:本题主要考查运用导数研究函数性质的方法,同时考查了分类讨论转化化归的数学思想，以及相关分析推理、计算等方面的能力。
23.[分析]：本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，即求出A、B；第二问利用
公式，推导得证数列{an}为等差数列.
[解答]：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.
由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知
解得 A=-20， B=-8。
（Ⅱ）方法1
由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ①
所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ②
②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③
所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④
④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.
因为 an+1=Sn+1-Sn
所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.
又因为 (5n+2)
,
所以 an+3-2an+2+an+1=0,
即
an+3-an+2=an+2-an+1, 
.
又 a3-a2=a2-a1=5,
所以数列
为等差数列。
方法2.
由已知，S1=a1=1,
又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8,
所以数列
是惟一确定的。
设bn=5n-4,则数列
为等差数列，前n项和Tn=
于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)
由惟一性得bn=a,即数列为等差数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.
要证了
只要证
5amn>1+aman+2
因为 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,
故只要证
5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2
因为
=20m+20n-37,
所以命题得证。
[评析]:本题主要考查了等差数列的有关知识,不等式的证明方法,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等。