高考数学普通高等学校招生全国统一考试72

高考数学普通高等学校招生全国统一考试72

试题精析详解

一、选择题（5分12=60分）

1．设集合，则　　　　 （　　）

　　　 A．{1}　　　　　　　　　　 B．{1，2}　　　　　　　　C．{2}　　　　　　　　　　 D．{0，1，2}

【思路点拨】本题考察集合的逻辑运算,可直接求得.

【正确解答】，，.选D.

【解后反思】集合主要有三种逻辑运算：交集,并集,补集,运算时要留意集合元素的性质,元素确定性,互异性,无序性,要注意补集的运算是离不开全集的,在化简集合时,经常用到两种工具：数轴和韦恩图.

2．设复数：为实数，则x=　　（　　）

　　　 A．－2　　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　D．2

【思路点拨】本题考察复数的乘法运算,可直接计算得到答案.

【正确解答】为实数，故，即.选A.

【解后反思】复数有两个部分：实部和虚部.而且复数的几种代数运算,其基本算法也是尽可能将其化成复数的代数形式.

3． “a=b”是“直线”的 （　　）

　　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

　　　 C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分又不必要条件

【思路点拨】本题主要考查直线和圆相切的条件以及充要条件,直线与圆相切的充要条件是

圆心到直线的距离等于半径.

【正确解答】直线，则，得或，

因此“a=b”是“直线与圆”相切的充分不必要条件.

选A

【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解, A  B,那么称A是B的充分条件,B是A的必要条件,但是实际问题中,我们往往是说B成立的的充分条件是A,千万不要搞错顺序.

4．的展开式中，含x的正整数次幂的项共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．4项　　　　　　　　　　B．3项　　　　　　　　　　C．2项　　　　　　　　　　D．1项

【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.

　　　 【正确解答】的展开式为，因此含x的正整数次幂的项共有3项.选B

【解后反思】在二项式展开式中,要注意二项式定理的变形,要掌握二项展开式中的系数与二项式系数的区别.

5．设函数为　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．周期函数，最小正周期为　　　　　　　 B．周期函数，最小正周期为

　　　 C．周期函数，数小正周期为　　　　　　 D．非周期函数

【思路点拨】本题考查三角函数的周期,首先应将f(x)化简,尽可能地化成形如然后再判断.

【正确解答】，

因此为周期函数，且最小正周期为.选B.

【解后反思】本题也可根据三角函数周期定义进行检验,将A、 B 、C 、D中的周期都代入,验证后,可得答案B,另外记住一些常用结论是必要的，例如的最小正周期,最小正周期.

6．已知向量　　　　（　　）

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°

　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

【思路点拨】本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式.

【正确解答】设，则，又

，所以，得，，

选C.

【解后反思】设的夹角为,则,(1)当为锐角,有且(2) 当为钝角,有且(3)当,共线且方向相同.(4)当时, .

7．已知函数

，下面四个图象中

的图象大致是　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

【思路点拨】本题考查导函数的图象及其性质,由图象得，从而导出是函数f(x)极值点是解本题的关健.

【正确解答】由图象知，，所以是函数的极值点，又因为在上，，在上，，因此在上，单调递减，故选C.

【解后反思】要注意,若是函数y=f(x)的极值点,则有,但是若,则是不一定是函数y=f(x)极值点,所以要判断一个点是否为极值点,还要检验点的两侧的单调性是否不同.

8．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－1　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　C．－　　　　　　　　　D．

【思路点拨】本题主要是考查函数极限法则的运用，涉及函数在某一点的极限的有关知识.

【正确解答】令，则，令，则.选C.

【解后反思】本题首先利用整体代换的方法,简化极限运算中式子,然后使用配凑法,将最值式子进行简化,再将简化后的条件代入因式,得出解.在做这一类题目时,先适当的将条件化简是解决的关健.

9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

【思路点拨】本题主要考查图形的翻折问题,利用球心到球面的距离均相等,找出球心是解本题的关健.

【正确解答】连接矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，则AO＝BO＝CO＝DO，则O为四面体ABCD的外接球的圆心，因此四面体ABCD的外接球的半径为，体积为.选C.

【解后反思】对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,另外,球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题.

10．已知实数a, b满足等式下列五个关系式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 ①0<b<a　　　　　　　　　 ②a<b<0　　　　　　　　　 ③0<a<b　　　　　　　　　 ④b<a<0　　　　　　⑤a=b

　　　 其中不可能成立的关系式有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1个　　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　　　D．4个

【思路点拨】本题涉及指数函数的若干知识.

【正确解答】均大于零时，要满足等式，必有；均小于零时，要满足等式，必有；时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B

【解后反思】根据函数图形来解客观题,快速而且准确,这就要求对函数的图形要相当了解.

11．在△OAB中，O为坐标原点，，则△OAB的面积达到最大值时，　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

【思路点拨】运用图形,根据图形表示的面积,将实际问题转化成数学问题.

【正确解答】

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 当即时,面积最大.

【解后反思】运用三角函数解决相应的实际问题，首先应根据题目的要求将面积的表达式写出来，然后在表达式中，根据自变量的取值范围，最终求出答案，所要注意的是，解决此类问题时不能仅凭函数的表达式，应考虑实际情况，例如，在函数的自变量中，可以取负数，而如果在实际题目中，自变量表示的是天数，那么这相自变量必须为正数，且为整数等等.

12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．

【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.

【正确解答】将1,22-------9平均分成三组的数目为,又每组的三个数成等差数列,种数为了4,所以答案为B

【解后反思】这是一道概率题，属于等可能事件，在求的过程中，先求出不加条件限制的所有可能性a，然后再根据条件，求出满足题目要求的可能种数b，最后要求的概率就是.

二、填空题（4分4=16分）

13．若函数是奇函数，则a=　　　　　　　  .

【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性,由函数的奇偶性的定义可求得.

【正确解答】

解法1：由题意可知，，即，

因此，.

解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以,得即推出答案

【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.

若函数f(x)为奇函数的图象关于原点对称.

若函数f(x)为偶函数的图象关于y轴对称.

14．设实数x, y满足　　　　　　   .

【思路点拨】本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最值.

【正确解答】表示两点(0,0),A(x,y)的斜率

【解后反思】解题的关键是理解目标函数的几何意义,类似的你知道的几何意义吗？

15．如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

AB=BC=，BB₁=2，，

E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从E

到F两点的最短路径的长度为　　　　　　  .

【思路点拨】本题主要考查空间距离转化为平面距离.

【正确解答】分别延将E、F展开到同一平面内，则易得：，,或

比较可得，最小值为.

【解后反思】将平面图形空间化也是立体几何的另一种问题形式,在做立体几何中,许多问题都是空间图形进行平面化,努力将一个个空间图形,通过所学的几何知识,转化成平面图形,最后使用平面几何的若干知识解决,而本题却反其道而行之,所以在做法上就不能和上述的方法相同,但在本质上有许多相通之处,在这类题目中,尽量找出两者图形过程中的联系之处,哪些量变啦,哪些量没有变,然后解决起来,就会顺手多啦.

16．以下同个关于圆锥曲线的命题中

　　　 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

　　　 ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

　　　 ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

　　　 ④双曲线有相同的焦点.

　　　 其中真命题的序号为　　　　　　　　 （写出所有真命题的序号）

【思路点拨】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e的关系求得

【正确解答】双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数2a,且,那么P点的轨迹为双曲线,故①错，

由,得P为弦AB的中点,故②错，

设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，

的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.

【解后反思】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e的相互关系.

三、解答题（共74分）

17．（本小题满分12分）

已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4.

　 （1）求函数f(x)的解析式；

　 （2）设k>1，解关于x的不等式；

【思路点拨】本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法.

【正确解答】（1）将得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③.

【解后反思】解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化成整式不等式,解分式不等式一般情况下是移项,通分,然后转化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则简单,快捷,另外,

18．（本小题满分12分）

已知向量.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

【思路点拨】本题主要考查向量与三角,导数的综合题,正确化简f(x)是解该题的关健.

【正确解答】

　　　　

【解后反思】本题是一道简单三角函数题,不过我们仍然在本题的解决过程中,发现这样一个问题,化简在解决数学过程中的重要地位,本题只要化简到位,那么在解决的过程会大大缩短,一切都变的简单起来,所以在解三角函数问题或其他的数学问题,能化简的,要尽量先化简.

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求的取值范围；

（2）求的数学期望E.

【思路点拨】本题考查涉及概率等若干知识，理解的含义是解决本题的关键.

【正确解答】（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，

可得：

（2）

【解后反思】要想做对此类问题,要具备两个条件,首先要理解题目所涉及的知识,本题有一定的抽象性,如果你不理解题目,你就无从下手,第二要记牢这一类题目的做题步骤,做此类型题目,有时候步骤很重要的,严格按照书中例题的步骤完成是得到正确答案的保证.

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

　 （1）证明：D₁E⊥A₁D；

　 （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

　 （3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

【思路点拨】本题涉及立体几何线面关系的有关知识,

【正确解答】解法（一）

（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

　∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，

，设平面ACD₁的法向量为，则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

（3）设平面D₁EC的法向量

，∴

由　令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.

【解后反思】立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.

21．（本小题满分12分）

已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式a_n.

【思路点拨】本题考查数列的基础知识，考查运算能力和推理能力.第（1）问是证明递推关系，联想到用数学归纳法，第（2）问是计算题，也必须通过递推关系进行分析求解.

【正确解答】（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

　 ∴，命题正确.

2°假设n=k时有

　 则

　

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

　　 1°当n=1时，∴；

　　2°假设n=k时有成立，

　　　 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时　成立，所以对一切

　 （2）下面来求数列的通项：所以

,

又b_n=－1，所以.

【解后反思】数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的步骤.

22．（本小题满分14分）

如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

【思路点拨】本题涉及解析几何中直线与抛物线的若干知识.

【正确解答】（1）设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

　切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

　 （2）方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.

【解后反思】解析几何主要的是点和曲线的位置关系、对称性，标准方程当中系数对位置的影响.圆锥曲线的定义和几何性质,解析几何的解答题往往是高档题，常常涉及的内容是求轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系、对称、最值、范围.做这类题目一定要认真细心,提高自己的运算能力和思维能力.