高考数学普通高等学校招生全国统一考试74
理科数学（全国卷Ⅰ）第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题
（1）复数
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】∵
，故选A．
【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．
（2）设
为全集，
是的三个非空子集，且
，则下面论断正确的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】∵
所表示的部分是图中蓝色
的部分，
所表示的部分是图中除去
的部分，
∴
，故选C．
【点拨】利用韦恩图求解．
（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为
，则球的表面积为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】∵截面圆面积为，∴截面圆半径
，
∴球的半径为
，
∴球的表面积为，故选Ｂ．
【点拨】找相关的直角三角形．
（4）已知直线
过点
，当直线与圆
有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
将化为
，
∴该圆的圆心为
，半径，
设直线的方程为
，即
，设直线到圆心的距离为
，则
∵直线与圆有两个交点，∴
，
∴
，∴
．故选C．
【点拨】利用圆心到直线的距离解直线与圆的位置关系．
（5）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DM⊥EF、CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积V为
，∵
，
，∴
，作NH垂直于点H，则H为BC的中点，则
，∴
，∴
，
，
，∴
，故选A．
【点拨】将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计算．
（6）已知双曲线
的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
（A）
（B） （C）
（D）
【解析】由得
，∴
，抛物线的准线为
，因为双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，所以
，解得
，所以
，所以离心率为
，故选D．
【点拨】熟悉圆锥曲线各准线方程．
（7）当
时，函数
的最小值为（ ）
（A）2 （B）
（C）4 （D）
【解析】
，当且仅当
，即
时，取“
”，∵，∴存在
使，这时
，故选．
【点拨】熟练运用三角函数公式进行化简运算．
（8）设
，二次函数
的图像为下列之一
 |  |  |  |
则
的值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】∵，∴图像不能以轴为对称轴，∴一、二两个图不符；第四个图可知，
，故其对称轴为
，所以也不符合；只有第三个图可以，由图象过原点，得
，开口向下，所以
，故选B．
【点拨】熟悉二次函数图象的特点，分析对称轴、与轴的交点等形与数的关系．
（9）设
，函数
，则使
的的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】∵，，∴
，解得 
或
（舍去），
∴
，故选C．
【点拨】熟悉对数的性质．
（10）在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为（ ）
（A）
（B） （C）
（D）2
【解析】原不等式化为
或
，
所表示的平面区域如右图所示，
，
， ∴
，故选B．
【点拨】分类讨论，通过画出区域，计算面积．
（11）在
中，已知
，给出以下四个论断：
①
②
③
④
其中正确的是（ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
【解析】∵
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴①不一定成立，
∵
，∴，∴②成立，
∵
，∴③不一定成立，
∵
，∴④成立，故选B．
【点拨】考查三角公式的灵活运用．
（12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对
【解析】解法一：（直接法）
①与上底面的
、
、
成异面直线的有15对；
②与下底面的
、
、
成异面直线的有9对（除去与上底面的）；
③与侧棱
、
、
成异面直线的有6对（除去与上下底面的）；
④侧面对角线之间成异面直线的有6对；
所以异面直线总共有36对．
解法二：（间接法）
①共一顶点的共面直线有
对；
②侧面互相平行的直线有6对；
③侧面的对角线有3对共面；
所以异面直线总共有
对．
【点拨】解排列组合题的关键是分好类．
第Ⅱ卷
二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
（13）若正整数m满足
，则m = 155 ．
【解析】∵，∴
，即
，
∴
，即 
，∴
．
【点拨】把指数形式化成对数形式．
（14）
的展开式中，常数项为 672 ．（用数字作答）
【解析】的通项公式为
，令
得，
，∴常数项为
【点拨】熟悉二项式定理的展开式的通项公式．
（15）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数
．
【解析】（特例法）设为一个直角三角形，则O点斜边的中点，H点为直角顶点，这时有
，∴
．（但当为正三角形时，m∈R）
【点拨】由特殊情况去检验一般情况．
（16）在正方体
中，过对角线
的一个平面交
于E，交
于F，则
①四边形
一定是平行四边形
②四边形有可能是正方形
③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为
．（写出所有正确结论的编号）
【解析】①平面与相对侧面相交，交线互相平行，
∴四边形一定是平行四边形；
②四边形若是正方形，则
，又
，
∴
平面
，产生矛盾；
③四边形在底面ABCD内的投影是正方形
；
④当E、F分别是、的中点时，
，又
平面，
∴四边形有可能垂直于平面；
【点拨】边观察、边推导．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本大题满分12分）
设函数
图像的一条对称轴是直线
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求函数
的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线
于函数的图像不相切．
（18）（本大题满分12分）
已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
（19）（本大题满分12分）
设等比数列
的公比为
，前n项和
．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设
，记
的前n项和为
，试比较
与的大小．
（20）（本大题满分12分）
9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为
，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到
）
（21）（本大题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值．
（22）（本大题满分12分）
（Ⅰ）设函数
，求
的最小值；
（Ⅱ）设正数
满足
，证明：
三、解答题
17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.
解：（Ⅰ）
的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）证明：
所以曲线的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线的斜率为
，所以直线与函数
的图像不相切.
18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.
|
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD
面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=，PB=
， 
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=
，
. ∴AB=2，
故所求的二面角的大小为
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
|
则
，
.
故AC与PB所成的角的大小为
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在
使
要使
为所求二面角的平面角.
（本题也可通过求两个平面的法向量所成角来确定二面角的平面角）
19． 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分.
解：（Ⅰ）因为
是等比数列，
当
上式等价于不等式组：
①
或
②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由
于是
20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率
知识解决实际问题的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为
，所以甲坑不需要补
种的概率为 
3个坑都不需要补种的概率
恰有1个坑需要补种的概率为
恰有2个坑需要补种的概率为
3个坑都需要补种的概率为
补种费用
的分布为
|
| 0 | 10 | 20 | 30 |
| P | 0.670 | 0.287 | 0.041 | 0.002 |
的数学期望为
21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力，满分14分.
（I）解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得
.
令
则 
共线，得
（II）证明：由（I）知
，所以椭圆
可化为
.
在椭圆上，
即 
①
由（I）知
又
又，代入①得 
故为定值，定值为1.
22．本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
满分12分.
（Ⅰ）解：对函数求导数：
于是
当
在区间
是减函数，
当
在区间
是增函数.
所以
时取得最小值，
，
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.
（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.
（ii）假定当
时命题成立，即若正数
，
则
当
时，若正数
令
则
为正数，且
由归纳假定知
①
同理，由
可得
②
综合①、②两式
即当时命题也成立.
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.
证法二：
令函数
利用（Ⅰ）知，当
对任意
. ①
下面用数学归纳法证明结论.
（i）当n=1时，由（I）知命题成立.
（ii）设当n=k时命题成立，即若正数
由①得到
由归纳法假设
即当时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.