高考数学普通高等学校招生全国统一考试114
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果时间A、B互斥，那么
如果时间A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中R表示球的半径
球的体积公式
，其中R表示球的半径
一、选择题
⑴、已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
A．
B．
C．
D．
⑵、设集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
⑶、已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
A．
B．
C．
D．
⑷、双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则
A．
B．
C．
D．
⑸、设
是等差数列
的前
项和，若
，则
A．
B．
C．
D．
⑹、函数
的单调增区间为
A．
B．
C．
D．
⑺、从圆
外一点
向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
⑻、
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且
，则
A．
B．
C．
D．
⑼、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A．
B．
C．
D．
⑽、在
的展开式中，
的系数为
A．
B．
C．
D．
⑾、抛物线
上的点到直线
距离的最小值是
A．
B．
C．
D．
⑿、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：
）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为
A．
B．
C．
D．
普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
3．本卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。
⒀、已知函数
，若
为奇函数，则
________。
⒁、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为
，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
⒂、设
，式中变量
满足下列条件
则z的最大值为_____________。
⒃、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
⒄、（本小题满分12分）
已知为等比数列，
，求的通项式。
⒅、（本小题满分12分）
的三个内角为
，求当A为何值时，
取得最大值，并求出这个最大值。
⒆、（本小题满分12分）
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为
，服用B有效的概率为。
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。
⒇、（本小题满分12分）
如图，
、
是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，
。
（Ⅰ）证明
⊥
；
（Ⅱ）若
，求与平面ABC所成角的余弦值。
（21）、（本小题满分12分）
设P是椭圆
短轴的一个端点，
为椭圆上的一个动点，求
的最大值。
（22）、（本小题满分14分）
设为实数，函数
在
和
都是增函数，求的取值范围。
全国卷Ⅰ文答案
一、选择题: 1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.C 11.A 12.B
二、填空题: 13. 14. 15. 11 16.2400
三、解答题:
17.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.
18.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin
=－2(sin － )2+
当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为
19. 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,
P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
= × + × + × =
(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－)3=
20.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
解法二: 如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴=, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).
连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),
=(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,
∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH,则=(－1,, ),
∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),
∴cos∠NBH= = =
21. 解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 PQ=,又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1－y2) , PQ2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2
=(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .
因为y≤1,a>1, 若a≥, 则≤1, 当y=时, PQ取最大值;
若1<a<,则当y=－1时, PQ取最大值2.
22. 解: f ' (x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2.
(ⅰ)若△=12－8a2=0,即 a=±, 当x∈(－∞,), 或x∈( , +∞)时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数. 所以a=±.
(ⅱ)若△=12－8a2<0, 恒有f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数, 所以a2> ,
即 a∈(－∞,－ )∪( , +∞)
(ⅲ)若△12－8a2>0,即－ <a<, 令f '(x)=0, 解得 x1=, x2=.
当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+ ∞)时, f '(x)>0, f(x)为增函数; 当x∈(x1,x2)时 , f '(x)<0,f(x)为减函数. 依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得a≥,解得 1≤a<
由x2≤1得≤3－a, 解得 － <a< , 从而 a∈[1, )
综上,a的取值范围为(－∞,－ ]∪[ , +∞) ∪[1, ),即a∈(－∞,－ ]∪[1,∞).