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高考数学普通高等学校招生全国统一考试115
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的答案无效．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A
B)＝P(A)P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR2
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P(k)＝Pk(1－P)n－k
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题
（1）已知集合M＝｛xx＜3｝，N＝｛xlog2x＞1｝，则M∩N＝
（A）
（B）｛x0＜x＜3｝
（C）｛x1＜x＜3｝ （D）｛x2＜x＜3｝
（2）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是
（A）2π （B）4π （C） （D）
（3）＝
（A）i
（B）－i
（C）
（D）－
(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
（A） (B) (C) (D)
(5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
（6）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为
（A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R)
（C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1)
（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝
（A）2∶1 （B）3∶1
（C）3∶2 （D）4∶3
（8）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点
对称，则f(x)的表达式为
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
（9）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为
（A） (B) (C) (D)
(10)若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝
（A）3－cos2x （B）3－sin2x （C）3＋cos2x （D）3＋sin2x
（11）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
（12）函数
的最小值为
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
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2006年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
（本卷共10小题，共90分）
注意事项：
1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡上．
（13）在(x4＋)10的展开式中常数项是 （用数字作答）
（14）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．
（15）过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．
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三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知向量
，
．
（Ⅰ）若
，求
；
（Ⅱ）求
的最大值．
（18）（本小题满分12分）
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
（21）（本小题满分14分）
已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
（22）（本小题满分12分）
设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）｛an｝的通项公式．
2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数—选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C
二、填空题
⒀45 ⒁ ⒂ ⒃25
三、解答题
17．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；………………4分
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
｜a＋b｜＝＝
＝，………………10分
当sin(θ＋)＝1时，a＋b取得最大值，即当θ＝时，a＋b最大值为＋1．……12分
18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝·＝＝， P(ξ＝1)＝·＋·＝
P(ξ＝2)＝·＋·＝， P(ξ＝3)＝·＝． ………………8分
ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
数学期望为Eξ＝1.2．
(Ⅱ)所求的概率为
p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝ ……………12分
19．解法一：
（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分
（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知
平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，
则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．
不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，
tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．
则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分
＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．
·＝0，∴ED⊥BB1．
又＝(－2a，0，2c)，
·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AD．又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，
＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，
·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，
∴ EC⊥面C1AD． ……10分
cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分
20．解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……5分
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9分
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． ……3分
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……6分
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． ……12分
21．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝ABFM．
FM＝＝＝
＝＝＋．
因为AF、BF分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
AB＝AF＋BF＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是 S＝ABFM＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
22．解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…． ……8分
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立． ……10分
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，所以
｛an｝的通项公式
，n＝1，2，3，…． ……12分