高考数学普通高等学校招生全国统一考试116
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．定义集合运算：
，设集合
，则集合
的所有元素之和为
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
|
|
|
|
2．函数
的反函数的图象大致是
 |  | ||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
| |||||||||
3．设
，则不等式
的解集为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．在
中，角
的对边分别为
，已知
，则
（A）1 （B）2 （C）
（D）
5．设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为
（A）（2,6） （B）（-2,6） （C）（2,-6） （D）（-2,-6）
6．已知定义在R上的奇函数
满足
，则
的值为
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
7．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为
，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为
（A） （B）
（C）
（D）
8．设
，则
是
的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9．已知集合
，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
（A） 33 （B） 34 （C） 35 （D） 36
10．已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，其中
，则展开式中常数项是
（A）
（B）
（C）
（D）
11．某公司招收男职员
名，女职员
名，和须满足约束条件
，则
的最大值是
（A）80 （B）85 （C）90 （D）95
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷 （共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。
13．若
，则常数
2
。
14．已知抛物线
，过点
的直线与抛物线相交于
两点，则
的最小值是 32 。
15．如图，已知正三棱柱
的所有棱长都相等，D是
的中点，则直线AD与平面
所成角的正弦值为 __
____ 。
16．下列四个命题中，真命题的序号有 ③④ （写出所有真命题的序号）。
①将函数
的图象按向量v=（-1,0）平移，得到的图象对应的函数表达式为
；②圆
与直线
相交，所得的弦长为2；③若
，则
；④如图，已知正方体
，P为底面ABCD内一动点，P到平面
的距离与到直线
的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分。
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数
，且
的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.
（I）求
（II）计算
.
解：（I）
的最大值为2，
.
又
其图象相邻两对称轴间的距离为2，
，
.
过点，
又
.
（II）解法一：
，
.
又的周期为4，
，
解法二：
又
的周期为4，，
18．（本小题满分12分）设函数
，其中
，求的单调区间.
解：由已知得函数的定义域为
，且
（1）当
时，
函数在上单调递减，
（2）当
时，由
解得
、随的变化情况如下表
|
|
|
|
|
|
| — | 0 | + |
|
|
| 极小值 |
|
从上表可知
当
时，函数在
上单调递减.
当
时，
函数在
上单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
19．（本小题满分12分）
如图，已知平面
平行于三棱锥
的底面ABC，等边△
所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设
（1）求证直线
是异面直线
与的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角
的大小。
解法1：
（Ⅰ）证明：∵平面
∥平面
，
又∵平面
⊥平面，平面∩平面
，
∴
⊥平面，
，
又
，
.
为与
的公垂线.
（Ⅱ）解法1：过A作
于D，
∵△为正三角形，∴D为
的中点.
∵BC⊥平面∴
，
又
，∴AD⊥平面
，
∴线段AD的长即为点A到平面的距离.
在正△中，
.
∴点A到平面的距离为
.
解法2：取AC中点O连结
，则⊥平面，且=.
由（Ⅰ）知
，设A到平面的距离为x，
，即
，解得
.
即A到平面的距离为.则
所以，
到平面的距离为.
(III)过
点作
于
，连
，由三重线定理知
是二面角
的平面角。
在
中，
。
。
所以，二面角的大小为arctan
.
解法二：取
中点
连,易知
底面，过作直线
交
。
取为空间直角坐标系的原点，
所在直线分别为轴，轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系。则
。
（I）
，
，
，
。
又
由已知
。
，
而
。
又
显然相交，是
的公垂线。
（II）设平面的一个法向量
，
又
由
取
得 
点到平面的距离，即
在平面的法向量
上的投影的绝对值。
，设所求距离为
。 则
=
所以，A到平面VBC的距离为.
（III）设平面
的一个法向量
由
取
二面角为锐角，
所以，二面角的大小为
20．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率。
解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为
，则事件和事件是互斥事件，因为
所以
.
（II）由题意
有可能的取值为：2，3，4，5.
所以随机变量
的概率分布为
|
| 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
因此的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为
，则
21．（本小题满分12分）
双曲线C与椭圆
有相同的焦点，直线
为C的一条渐近线。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点
的直线
，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当
，且
时，求
点的坐标。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由椭圆
求得两焦点为
，
对于双曲线
，又
为双曲线的一条渐近线
解得 
，双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率
存在且不等于零。
设的方程：
，
则
在双曲线上，
同理有：
若
则直线过顶点，不合题意.
是二次方程
的两根.
，此时
.所求的坐标为
.
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，
，则.，
分
的比为
.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
， 
.
， 
，
，
又
，
即
将
代入得
，否则与渐近线平行。
。
解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，
则 
, 。
同理 
.
即 
。 （*）
又 
消去y得
.
当
时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，
。
由韦达定理有：
代入（*）式得 
所求Q点的坐标为。
22．（本小题满分14分）
已知
，点
在函数
的图象上，其中
（1）证明数列
是等比数列；
（2）设
，求
及数列
的通项；
（3）记
，求数列
的前项
，并证明
解：（Ⅰ）由已知
，
，两边取对数得
，即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又
又
.