高考数学普通高等学校招生全国统一考试117
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
（1）定义集合运算：
⊙
设集合
则集合⊙的所有元素之和为
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
（2）设
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（3）函数
（A） （B） （C） （D）
（4）设向量
,
,若表示向量4
、
的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量
为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知定义在R上的奇函数
满足
则
的值为
（A） －1 （B）0 （C）1 （D）2
（6）在
中，角、、
的对边分别为、
、，已知
则=
（A）1 （B）2 （C）
（D）
（7）在给定双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为
，焦点到相应准线的距离为
，则该双曲线的离心率为
（A）
（B）2 （C） （D）2
（8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为
（A）
（B）3 （C）3 （D）1∶9
（9）设
∶
∶
，则是
的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）已知（
）
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是
（A）－1 （B）1 （C）－45 （D）45
（11）已知集合
，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
（A）33 （B）34 （C）35 （D）36
（12）已知x和y是正整数，且满足约束条件
则
的最小值是
（A）24 （B）14 （C）13 （D）11.5
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。
（13）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 .
（14）设
为等差数列
的前n项和，
＝14，
，则
＝ .
（15）已知抛物线
，过点
）的直线与抛物线相交于
两点，则
的最小值是
（16）如图，在正三棱柱
中，所有棱长均为1，
则点
到平面
的距离为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分
（17）（本小题满分12分）
设函数
其中
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ） 讨论的极值.
（18）（本小题满分12分）
已知函数
且
的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）计算
（19）（本小题满分12分）
盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
（Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
（Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.
（20）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
与
相交于点
，且顶点
在底面上的射影恰为点，又
.
（Ⅰ）求异面直接
与
所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）设点M在棱
上，且
为何值时，
平面
.
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在
轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组
成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线
过
且与椭圆相交于、两点，当
面积取得
最大值时，求直线的方程.
（22）（本小题满分14分）
已知数列
中，
在直线
上，其中
（Ⅰ）令
（Ⅱ）求数列
（Ⅲ）设
的前
项和,是否存在实数
，使得数列
为等差数列？若存在，试求出
.若不存在,则说明理由。
2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学答案
一、选择题：1、D 2、C 3、A 4、D 5、B 6、B 7、C 8、C 9、A 10、D 11、A 12、B
二、填空题：13、150 14、54 15、32 16、
三、解答题
17．解：由已知得 
，令
，解得 
.
（Ⅰ）当
时，
，在
上单调递增
当
时，
，
随的变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| + | 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
从上表可知，函数在
上单调递增；在
上单调递减；在
上单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，函数没有极值.
当时，函数在
处取得极大值，在
处取得极小值
.
18：解：（I）
的最大值为2，
.
又
其图象相邻两对称轴间的距离为2，
，
.
过点，
又∵
.
（II）解法一：
，
.又的周期为4，
，
解法二：
又的周期为4，，
19．解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意
（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则
（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，
“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，
C与D是对立事件，因为
所以 
.
20．解法一：
平面
， 
又
，
由平面几何知识得：
（Ⅰ）过
做
交于
于
，连结
，则
或其补角为异面直线与所成的角，
四边形是等腰梯形，
又
四边形
是平行四边形。
是的中点，且
又
，
为直角三角形，
在
中，由余弦定理得
故异面直线PD与所成的角的余弦值为
（Ⅱ）连结
，由（Ⅰ）及三垂线定理知，
为二面角的平面角
，
二面角的大小为
（Ⅲ）连结
，
平面
平面，
又在
中，
，
，
故
时，平面
解法二： 平面
又
，
，
由平面几何知识得：
以为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为
，
，
，
，
，
（Ⅰ）
，
，
。
。故直线与所成的角的余弦值为
（Ⅱ）设平面
的一个法向量为
，
由于
，
，
由
得 
取
，又已知平面ABCD的一个法向量
，
又二面角为锐角，
所求二面角的大小为
（Ⅲ）设
，由于
三点共线，
，
平面，
由（1）（2）知：
，
。
故时，平面。
21．解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得
∴所求椭圆方程为 
.
（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由
，消去y得关于x的方程：
由直线与椭圆相交于A、B两点，
解得
又由韦达定理得
原点到直线的距离
.
解法1：对
两边平方整理得：
（*）
∵
，
整理得：
又
， 
从而
的最大值为
，
此时代入方程（*）得 
所以，所求直线方程为：
.
解法2：令
， 则
当且仅当
即
时，
此时
.
所以，所求直线方程为
解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.
设直线l的方程为，
则直线l与x轴的交点
，
由解法一知且，
解法1：
=
.
下同解法一.
解法2：
= 
下同解法一.
22．解：（I）由已知得 
又
是以
为首项，以
为公比的等比数列.
（II）由（I）知，
将以上各式相加得：
（III）解法一：
存在，使数列
是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是
、是常数
即
又
当且仅当
，即时，数列为等差数列.
解法二：存在，使数列是等差数列.
由（I）、（II）知，
又
当且仅当时，数列是等差数列.