高考数学普通高等学校招生全国统一考试119

高考数学普通高等学校招生全国统一考试119

注意事项：

1．本试卷分第一部分和第二部分．第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。

　　　 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（共60分）

YCY

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（本卷共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合P＝{x∈N1≤x≤10}，集合Q＝{x∈Rx²＋x－6＝10}，则P∩Q等于

　　　 A．{－2，3}　　　　　　B．{－3，2}　　　　　　C．{3}　　　　　　　　　　 D．{2}

2．函数f(x)＝（x∈R）的值域是

　　　 A．[0，1]　　　　　　　　B．[0，1)　　　　　　　　 C．(0，1]　　　　　　　　D．(0，1)

3．已知等差数列{a_n}中，a₂＋a₈＝8，则该数列前9项和S₉等于

　　　 A．45　　　　　　　　　　　B．36　　　　　　　　　　　 C．27　　　　　　　　　　　D．6

4．设函数f(x)＝log_a(x＋b)(a>0，a≠1)的图象过点（0，0），其反函数过点（1，2），则a+b等于

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　B．4　　　　　　　　　　　　C．5　　　　　　　　　　　　D．6

5．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x²+y²=2相切，则a的值为

　　　 A．±4　　　　　　　　　　 B．±2　　　　　　　　 C．±2　　　　　　　　　　 D．±

6．“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的

　　　 A．必要而不充分条件　　　　　　　　　　　　　　 B．充分而不必要条件

　　　 C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

7．设x、y为正数，则有(x+y)()的最小值为

　　　 A．15　　　　　　　　　　　B．12　　　　　　　　　　　 C．9　　　　　　　　　　　　D．6

8．已知非零向量与满足且，则△ABC为

　　　 A．等边三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．直角三角形　　　　

　　　 C．等腰非等边三角形　　　　　　　　　　　　　　 D．三边均不相等的三角形

9．已知函数f(x)=ax²+2ax+4(a＞0)。若x₁＜x₂，x₁＋x₂=0，则

　　　 A．f(x₁)>f(x₂)　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B．f(x₁)=f(x₂)

　　　 C．f(x₁)<f(x₂)　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　D．f(x₁)与f(x₂)的大小不能确定

10．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．2

11．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是

　　　 A．平面ABC必不垂直于α　　　　　　　　　　　B．平面ABC必平行于α

　　　 C．平面ABC必与α相交　　　　　　　　　　　　 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d。例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为

　　　 A．1,6，4,7　　　　　　 B．4,6，1,7　　　　　　　C．7,6，1,4　　　　　　 D．6,4，1,7

第二部分（共90分）

YCY

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为　　 　　　　　.

14．(2x－)⁶展开式中的常数项为　　　　  （用数字作答） .

15．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1个），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有　　　　　 种（用数字作答）.

16．水平桌面α上放有4个半径为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)。在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是　　　　　　　 .

三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

甲，乙，丙三人投篮，投进的概率分别是。现3人各投篮1次，求

（Ⅰ）3人都投进的概率；

　　　 （Ⅱ）3人中恰有2人投进的概率。

18．（本小题满分12分）

　　　 已知函数f(x)=(x∈R)。

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求使函数f(x)取得最大值的x的集合.

19．（本小题满分12分）

如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在直线l上的射影为B₁，已知AB＝2，AA₁=1，BB₁＝，求：

（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成的角的大小；

　　　 （Ⅱ）二面角A₁－AB－B₁的大小.

20．（本小题满分12分）

已知正项数列，其前n项和S_n满足10S_n=＋5a_n＋6，且a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求求数列的通项a_n.

21．（本小题满分14分）

如图，三定点A（2,1），B（0，－1），C(－2,1)；三动点D，E，M满足，，，t∈[0,1]

（Ⅰ）求动直线DE的斜率的变化范围；

（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.

22．（本小题满分12分）

　　设(k≥0)

（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数的极小值大于0，求k的取值范围.

参考答案

一、选择题

1．A　2．B　 3．C　 4．C　 5．B　 6．A　 7．B　 8．D　 9．A

10．D　 11．D　 12．C

二、填空题

13．－　 14．60　 15．1320 　　16．3R

三、解答题

17.解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A₁ , "乙投进"为事件A₂ , "丙投进"为事件A₃,

则 P(A₁)= , P(A₂)= , P(A₃)= ,

∴ P(A₁A₂A₃)=P(A₁) ·P(A₂) ·P(A₃) = × ×=

 ∴3人都投进的概率为

(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B

P(B)=P(A₂A₃)+P(A₁A₃)+P(A₁A₂)

　 =P()·P(A₂)·P(A₃)+P(A₁)·P()·P(A₃)+P(A₁)·P(A₂)·P()

　 =(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) =

 ∴3人中恰有2人投进的概率为

18.解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

　　　　  = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

　　　　 =2sin[2(x－)－]+1

　　　　 = 2sin(2x－) +1　

∴ T==π

  (Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有  2x－ =2kπ+

即x=kπ+ 　 (k∈Z)  ∴所求x的集合为{x∈Rx= kπ+ ,　(k∈Z)}.

19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A₁B,AB₁, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA₁⊥l, BB₁⊥l,

∴AA₁⊥β, BB₁⊥α. 则∠BAB₁,∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角.

Rt△BB₁A中, BB₁= , AB=2, ∴sin∠BAB₁ = = . ∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中, AA₁=1,AB=2, sin∠ABA₁= = , ∴∠ABA₁= 30°.

故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.

(Ⅱ) ∵BB₁⊥α, ∴平面ABB₁⊥α.在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E,则A₁E⊥平面AB₁B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A₁F⊥AB, ∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB₁中,∠BAB₁=45°,∴AB₁=B₁B=. ∴Rt△AA₁B中,A₁B== = . 由AA₁·A₁B=A₁F·AB得 A₁F== = ,

∴在Rt△A1EF中,sin∠A₁FE = = , ∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arcsin.

解法二: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A₁(0,0,0),A(0,0,1),B₁(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴=(,, ). 设E为AB₁的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－,).

又·=(,－,)·(,1,－1)= － － =0, ∴⊥, ∴∠A₁FE为所求二面角的平面角.

又cos∠A₁FE= = = = = ,

∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arccos.

20.解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6, ①　 ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,解之得a₁=2或a₁=3.

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2),②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1),即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0　

∵a_n+a_n－1>0　, ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2).

当a₁=3时,a₃=13,a₁₅=73. a₁, a₃,a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时,a₃=12, a₁₅=72, 有a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3.

21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x₀,y₀),E(x_E,y_E),M(x,y).由=t,  = t ,

知(x_D－2,y_D－1)=t(－2,－2).　 ∴　同理 .

 ∴k_DE =  = = 1－2t.　∴t∈[0,1] , ∴k_DE∈[－1,1].

(Ⅱ) ∵=t  ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t²－2t). ∴　　 , ∴y= , 即x²=4y.　∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].

即所求轨迹方程为: x²=4y, x∈[－2,2]

解法二: (Ⅰ)同上.

(Ⅱ) 如图, =+ = +　t = + t(－) = (1－t) +t,

 = + = +t = +t(－) =(1－t) +t,

 = += + t= +t(－)=(1－t) + t= (1－t²)  + 2(1－t)t+t² .

设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得

　消去t得x²=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].

故所求轨迹方程为: x²=4y, x∈[－2,2]

22.解: （I）当k=0时, f(x)=－3x²+1　∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],单调减区间[0,+∞).

当k>0时 , f '(x)=3kx²－6x=3kx(x－)

∴f(x)的单调增区间为(－∞,0] , [ , +∞), 单调减区间为[0, ].

（II）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值.

 当k>0时, 依题意 f()= － +1>0 ,

即k²>4 , 由条件k>0, 所以k的取值范围为(2,+∞).