高考数学普通高等学校招生全国统一考试87

高考数学普通高等学校招生全国统一考试87

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数的定义域是(　　  )

A.(3,+∞)  B.[3, +∞)  C.(4, +∞)  D.[4, +∞)

2.数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则

　　 (　　　)

A.　　B.　　C.　　D.2

3.过平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB₁D₁平行的直线共有　(　　　)

A.4条　　B.6条　　C.8条　　D.12条

4.“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的(　　  )

A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

5.已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是　 (　　　)

A.[0,]　　B.　　 C.　　D.

6.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有　(　　 )

A.16种　　 B.36种　　　 C.42种　　　D.60种

7.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且AB=BC,则双曲线M的离心率是 (　　　)

A.　　  B.　 　C.　　  D.

8.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 (　　 )

A.(-∞,1)　 B.(0,1)　　C.(1,+∞)　　D. [1,+∞)　

9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 (　　  )

A.　　　　　　 B.　　

C.　　　　　　 D.　　

10.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是　 (　　　)

A.[]　　B.[]　　 C.[　　 D.

第Ⅱ卷（非选择题　 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，(第15小题每空2分)共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

11.若的展开式中的系数是-80,则实数的值是　　　　  .

12.已知则的最小值是　　　　 .

13.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是　　　　 .

14.若是偶函数,则有序实数对()可以是　　　　 .(注:只要填满足的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).

15.如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是　　　　  ;

当时,的取值范围是　　　　　　 .  

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.

（Ⅰ）证明 ;

（Ⅱ）若AC=DC,求的值.

17.（本小题满分12分）

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):

(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;

(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

18. （本小题满分14分）

如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

19. （本小题满分14分）

已知函数,数列{}满足:

证明:(ⅰ);(ⅱ).

20. （本小题满分14分）

对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21. （本小题满分14分）

已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

参考答案

1～10：DADAB DACCB

11.-2　；  12. 5 　；　13.  ；14.（1，-1）（注：只要填满足a+b=0的一组数字即可）

15. （-∞，0）　　

16. 解：（I）如图，因为，

所以，

即

（II）在ΔADC中，由正弦定理得，即

所以

由（I），，所以

即，

解得或

因为0<β<π，所以

从而

17. 解：（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，

所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是

（Ⅱ）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B（5，0.5），从而的数学期望是

，即平均有2.5家煤矿必须整改。

(Ⅲ)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9，由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是。

18. 解法一：（Ⅰ）连结AC、BD，设

由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

∴PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD

∴P、O、Q三点在一条直线上，

∴PQ⊥平面ABCD

（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，

∴AC⊥BD

由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）

∴

于是

∴异面直线AQ与PB所成的角是

(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，　　

，

设是平面QAD的一个法向量，由

得

取x=1，得

所以点P到平面QAD的距离

解法二：（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM

又平面PQM，所以PQ⊥AD

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD

（Ⅱ）连结AC、BD，设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面。

取OC的中点N，连结PN。

因为，所以，从而AQ ∥PN，∠BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角。

连结BN，

因为，

，

，

所以，

从而异面直线AQ与PB所成的角是

 (Ⅲ)由（I）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM；

过P作PHQM于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离，连结OM，因为，所以，又PQ=PO+QO=3，于是

即点P到平面的距离是

19. 解：（I）先用数学归纳法证明

（i）当n=1时，由已知，结论成立。

（ii）假设当n=k时结论成立，即，

因为时，

所以在(0，1)上是增函数，又在[0，1]上连续，

从而，即，

故当n=k+1时，结论成立。

由（i）、（ii）可知，对一切正整数都成立。

又因为时，，

所以，综上所述

（II）设函数，

由（I）可知，当时，

从而

所以在（0，1）上是增函数

又在[0，1]上连续，且，

所以当时，>0成立，于是，即，

故

20. 解：(I)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，

解得

由c =0.95得方案乙初次用水量分别为3，第二次用水量y满足方程

，解得，故

即两种方案的用水量分别为19与

因为当1 ≤ a ≤ 3时，x–z = 4(4-a)> 0，即x>z

故方案乙的用水量较少。

(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，

，（*）

于是

当为定值时，

当且仅当时等号成立，此时（不合题意，舍去）

或

将代入（*）式得

故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是

当1≤a≤3时，，故是增函数（也可以用二次函数的单调性判断），这说明，随着的值的增加，最少总用水量增加。

21. 解：　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为

　  x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）

　  因为点A在抛物线上，所以，即

　  此时的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上

　 （Ⅱ）解法一　：假设存在m、p的值使的焦点恰好在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，

故可设直线AB的方程为

由消去y得　　　　 　　　　　　  ……①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）,

则x₁,x₂是方程①的两根：x₁＋x₂＝

由消去y得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……②

因为的焦点在上，

所以，即，代入②有

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……③

由于也是方程③的两根，所以

从而　　　　 　　　　　　　　　……④

又AB过、的焦点

所以

则　　　　  　　　　　　　　　 ……⑤

由④、⑤得

即，解得

于是

因为的焦点在直线上，所以，即

或

由上知，满足条件的m、p存在，且或，

解法二 ：设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

因为AB既过的右焦点，又过的焦点，

所以

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……①

由（Ⅰ）知，p≠2，

于是直线AB的斜率，　　及　　　　　　　　　  ……②

所以　　　　　　　　　　　  　　 ……③

又因为，所以　　　　　　　　  ……④

将①、②、③代入④得，　　　　　　　　　　　　　  ……⑤

因为，所以　　　　　　　　　 ……⑥

将②、③代入⑥得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……⑦

由⑤、⑦得

解得

将代入⑤得，所以或

由上知，满足条件的m、p存在，且或，