高考数学普通高等学校招生全国统一考试92
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果时间A、B互斥，那么
如果时间A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中R表示球的半径
球的体积公式
，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）、复数
等于
A．
B．
C．
D．
（2）、设集合
，
，则
等于
A．
B．
C．
D．
（3）、若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为
A．
B．
C．
D．
（4）、设
，已知命题
；命题
，则是
成立的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（5）、函数
的反函数是
, 
，
A．
B．
， ，
，
C．
D．
， ，
（6）、将函数
的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A．
B．
C．
D．
（7）、若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则的方程为
A．
B．
C．
D．
（8）、设
，对于函数
，下列结论正确的是
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值又无最小值
（9）、表面积为
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
B．
C．
D．
，
（10）、如果实数
满足条件 
， 那么
的最大值为
，
A．
B．
C．
D．
（11）、如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值，则
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
（12）、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为
A．
B．
C．
D．
高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
（13）、设常数，
展开式中
的系数为
，则
__________。
（14）、在
中，
，M为BC的中点，则
_______。（用
表示）
（15）、函数
对于任意实数
满足条件
，若
则
_______________。
（16）、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面
内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为________________________。（写出所有正确结论的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）、（本大题满分12分）
已知
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值。
（18）、（本大题满分12分）
在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用
表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求的数学期望
。（要求写出计算过程或说明道理）
（19）、（本大题满分12分）
如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，
，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明
⊥
；
（Ⅱ）求面
与面
所成二面角的大小。
（20）、（本大题满分12分）
已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明
；
，
（Ⅱ）证明
其中
和
均为常数；
，
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的
时，设
，讨论
在
内的单调性并求极值。
（21）、（本大题满分12分）
数列
的前
项和为
，已知
（Ⅰ）写出与
的递推关系式
，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
。
（22）、（本大题满分14分）
如图，F为双曲线C：
的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，
为坐标原点。已知四边形
为平行四边形，
。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率
与
的关系式；
（Ⅱ）当
时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若
，求此时的双曲线方程。
普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果时间A、B互斥，那么
如果时间A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式，其中R表示球的半径
球的体积公式，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
故选A
（2）设集合，
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
，
，所以
，故选B。
（3）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则
，故选D。
（4）设，已知命题；命题，则是成立的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：命题是命题等号成立的条件，故选B。
（5）函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：有关分段函数的反函数的求法，选C。
（6）将函数的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为
，由图象知，
，所以
，因此选C。
（7）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
解：与直线垂直的直线为
，即在某一点的导数为4，而
，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A
（8）设，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
解：令
，则函数的值域为函数
的值域，又，所以是一个减函减，故选B。
（9）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B．
C．
D．
解：此正八面体是每个面的边长均为
的正三角形，所以由
知，
，则此球的直径为
，故选A。
（10）如果实数满足条件
，那么的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：当直线
过点(0，-1)时，
最大，故选B。
（11）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由
，得
，那么，
，所以是钝角三角形。故选D。
（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得
个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得
，所以选C。
2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
（13）设常数，展开式中的系数为，则_____。
解：
，由
，所以
，所以为1。
（14）在中，
，M为BC的中点，则_______。（用
表示）
解：
，
，所以
。
（15）函数对于任意实数满足条件，若则__________。
解：由得
，所以
，则
。
（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
解：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为
，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为
，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由
得
，即
，又
，所以
为所求。
（Ⅱ）=
=
=
=
。
（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）
解：（Ⅰ）
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（Ⅱ）
（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明⊥；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，
为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴
，
，
。
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以
为所求二面角平面角。
在
中，OH=
，
=
。
在
中，
；
而
（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，
,0)，B(
，0,0)，D(0,2，0)，∴
，
，
设平面PAB的法向量为
，则
，
，得
，
；
设平面PDB的法向量为
，则
，
，得
，
；
（20）（本大题满分12分）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明
其中和均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。
证明（Ⅰ）令
，则
，∵，∴。
（Ⅱ）①令
，∵，∴
，则
。
假设时，
，则
，而
，∴，即成立。
②令
，∵，∴，
假设时，
，则
，而
，∴，即成立。∴成立。
（Ⅲ）当时，
，
令
，得
；
当
时，
，∴
是单调递减函数；
当
时，
，∴是单调递增函数；
所以当
时，函数在内取得极小值，极小值为
（21）（本大题满分12分）数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解：由
得：
，即
，所以
，对
成立。
由，
，…，
相加得：
，又
，所以
，当
时，也成立。
（Ⅱ）由
，得
。
而
，
，
（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。
解：∵四边形是
，∴
，作双曲线的右准线交PM于H，则
，又
，
。
（Ⅱ）当时，
，
，
，双曲线为
四边形是菱形，所以直线OP的斜率为
，则直线AB的方程为
，代入到双曲线方程得：
，
又，由
得：
，解得
，则
，所以
为所求。