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高考数学普通高等学校招生全国统一考试95
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
(2)在等差数列｛a
｝中，已知a
=2,a
+a
=13，则a
+a
+a
等于
A.40 B.42 C.43 D.45
(3)已知
∈(
,
)，sin=
,则tan(
)等于
A.
B.7
C.－ D.－7
(4)已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x
－6x+8<0｝，则(
A)∩等于
A.[－1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4)
(5)已知正方体外接球的体积是
，那么正方体的棱长等于
A.2
B.
C.
D.
(6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
A.
B.
C.
D.
(7)对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m⊥，m⊥n，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n
C.若m
，n∥，则m∥n
D.若m、n与所成的角相等，则n∥m
(8)函数y=㏒
(x﹥1)的反函数是
A.y=
(x>0)
B.y= (x<0)
C.y=
(x>0) D. .y= (x<0)
(9)已知函数f(x)=2sin
x(>0)在区间[
,
]上的最小值是－2，则的最小值等于
A.
B.
C.2 D.3
(10)已知双曲线
(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
(11)已知︱
︱=1，︱
︱=
,
=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设
=m+n(m、n∈R)，则
等于
A.
B.3
C.
D.
(12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
(13)(x－
)展开式中x的系数是
(用数字作答)
(14)已知直线x－y－1=0与抛物线y=ax相切，则a=
(15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是
（16）如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结的△A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是 .
二、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,x
R.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面的距离.
（19）（本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=
(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆
的左焦点为F，O为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列｛a｝满足a=1,a
=2a+1(n∈N
)
（Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;
（Ⅲ）证明:
(n∈N*).
数学试题(理工农医类)参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.
(1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A
(7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
(13)10
(14)
(15)
(16)(
)
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分12分.
解:（1）f(x)=
=
=sin(2x+
.
∴f(x)的最小正周期T=
=π.
由题意得2kπ-≤2x+
,k∈Z,
∴f(x)的单调增区间为［kπ-
］,k∈Z.
(2)方法一：
先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移
个单位长度，得到y=sin(2x+)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位年度，就得到y=sin(2x+)+的图象.
方法二：
把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-
)平移，就得到y=sin(2x+)+的图象.
(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
方法一:
(1)证明：连结OC.
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.
而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∴AB
平面BCD.
（Ⅱ）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中，
是直角△AOC斜边AC上的中线，∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h.
,
∴
·S△ACD =·AO·S△CDE.
在△ACD中，CA=CD=2,AD=,
∴S△ACD=
而AO=1, S△CDE=
∴h=
∴点E到平面ACD的距离为
.
方法二：
（Ⅰ）同方法一：
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，
C(0，，0)，A(0,0,1),E(
,
,0),
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则
∴
令y=1，得n=(-
)是平面ACD的一个法向量.
又
∴点E到平面ACD的距离
h=
(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.
解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时,
要耗油(
.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了
设耗油量为h(x)升，衣题意得
h(x)=(
)·
,
h’(x)=
(0＜x≤120＝
令h’(x)=0，得x=80.
当x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数.
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，
考查运算能力和综合能力.满分12分.
解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F.
∴圆心M在直线x=-
设M(-
),则圆半径
r=(-)-(-2)=.
由OM=r,得
解得t=±,
∴所求圆的方程为(x+)2+(y±) 2=
.
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
代入
+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
∵直线AB过椭圆的左焦点F,
∴方程有两个不等实根.
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),
则x1+x1=-
x0=
AB垂直平分线NG的方程为
令y=0，得
∵
∴点G横坐标的取值范围为（
）。
（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。
解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16,
当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，
h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7;
当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;
当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，
h(t)=f(x)=－t2+8t .
综上，h(t)=
（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数
j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∴j(x)=x2－8x+16ln x+m,
∵j′(x)=2x－8+
当x∈(0,1)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，j′(x)<0，j(x)是减函数；
当x∈(3,+∞)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；
当x=1，或x=3时， j′(x)=0；
∴j(x)极大值=j(1)=m－7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 3－15.
∵当x充分接近0时，j(x)<0，当x充分大时，j(x)>0.
∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
既7<m<－6ln 3.
所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15—6ln 3）.
（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。
（I）解：∵an+1=2 an+1（n∈N）,
∴an+1+1=2(an+1),
∴ an+1 是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。
∴an+1=2n，
既an=2n－1(n∈N)。
（II）证法一：∵4b1－14 b2－2…4 bn－1=(a+1)bn，
∵4k1+k2+…+kn =2nk,
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb,
①
2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1
②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb,
即 (n-1)bn+1-nbn+2=0.
③
nbn+2=(n+1)bn+1+2=0.
④
④-③，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,
即 bn+2-2bn+1+b=0,
∴bn-2-bn+1=bn(n∈N*),
∴{bn}是等差数列.
证法二：同证法一，得
(n-1)bn+1=nbn+2=0
令n=1，得b1=2.
设b2=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d.
(1)当n=1,得b1=2.
(2)假设当n=k(k≥2)时，b1=2+(k-1)d,那么
bk+1=
这就是说，当n=k+1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知bn=2(n-1)d对任何n∈N*都成立.
∵bn+1-bn=d,
∴{bn}是等差数列.
(3)证明：∵
∴
∵
≥
(
),k=1,2,…,n,
数 学（文史类）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于
A.2
B.1
C.0
D.-1
(2)在等差数列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于
A.40
B.42
C.43
D.45
(3)“tan a=1”是“a=”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件