高考数学普通高等学校招生全国统一考试61
YCY
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项.
|
|
|
，则下列关系中正确的是（ ）
A．M=P B．P M C．M P D．
【答案】C
【详解】
或
易得M
P
【名师指津】
集合与集合之间关系的题目经常助图象来观察.
2．“
”是“直线
相互垂直”的 （ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
当
时两直线斜率乘积为
从而可得两直线垂直,当
时两直线一条斜率为0一条
斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条
件.
【名师指津】
对于两条直线垂直的充要条件①
都存在时
②中有一个不存在另一个为零
对于②这种情况多数考生容易忽略.
3． a =1， b =2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【详解】
设所求两向量的夹角为
即：
所以
【名师指津】
对于
这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直（平行）的充要条件
|
4．从原点向圆
作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
【答案】B
【详解】
将圆的方程配方得：
圆心在
半径为3,如图：
在图中
中,
,从而得到
,
即
可求
的周长为
劣弧长为周长的
,可求得劣弧长为
.
【名师指津】
以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系.
5．对任意的锐角
，下列不等关系中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
当
时可排除A、B选项,当
时代入C选项中,即：
两边平方
矛盾故选D
【名师指津】
特殊值反代入的解题思想在高考选择题的解决过程中经常用到.本题只是简单的两组特殊角代
入即可解决问题.特殊值解选择题关键是恰到好处地选取特殊值如：数值类经常考虑
角类的
真数类
,底的
次幂或是次幂的倒数等等
6．在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 （ ）
A．BC//平面PDF B．DF⊥PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【答案】C
【详解】
如图所示：DF∥BC可得A正确
可得
平面
从而得
平面 B正确
平面ABC 则平面
平面ABC D正确
【名师指津】
立体几何中的几个重要模型正四面体、正三棱锥、正四棱等中的边边、边面、面面
之间的关系为这一章节的重点内容,高考题的大部分题目都以它们为背景.
7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
本题可以先从14人中选出12人即
,然后从这12人中再选出4人做为早班即
,最后再从剩
余的8人选出4人安排为中班即
,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得
不同的排法为：
.
【名师指津】
排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.
8．函数
（ ）
A．在
上递减
B．在
上递减
C．在
上递减
D．在
上递减
【答案】A
【详解】
当
或
时
在
上为增函数
当
或
时
在
上为减函
数.
【名师指津】
对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用分类
讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.
9．若
为纯虚数，则实数a的值为
.
【答案】
【详解】
为纯虚数
且
【名师指津】
复数的四则运算,复数
为实数、纯虚数的充要条件,复数的模作为复数内容的重点.
10．已知
的值为
，
的值为
.
【答案】
【详解】
（I）因为
所以
所以
【名师指津】
本题还考查了倍角的正切公式与两角和的正公式.三角函数知识的考查每年题目难度都不是很
大,应该抓基本公式与基本题型的解决.
11．
的展开式中的常数项是
. （用数字作答）
【答案】
【详解】
对于
当
时第5项为常数项,即
.
【名师指津】
二项式定理第
项的通项公式
的运用在往年高考中经常遇到.
12．过原点作曲线
的切线，则切点的坐标为
，切线的斜率为 .
|
【详解】
(略)
【名师指津】
(略)
13．对于函数
定义域中任意的
，有如下结论：
①
； ②
；
③
④
当
时，上述结论中正确结论的序号是
.
【答案】②③
【详解】
对于①②可以用
直接验证即可②满足题意
对于③④如右图所示：
对于图象上任意不同
两点
显然成立（可以用
）故③正确
再有AB中点C（
过C作
轴交于D（
D在上有：
故④不正确
【名师指津】
本题主要考查了函数运算性质以及直线斜率应用,题目较综合.
14．已知n次式项式
.
如果在一种算法中，计算
的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值共需要
次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要
次运算.
【答案】
【详解】
由题意知道
的值需要
次运算,即进行次
的乘法运算可得到的结果
对于
这里
进行了3次运算,
进行了2次运算,
进行1次运算,最后
之间的加法
运算进行了3次这样
总共进行了
次运算
对于
总共进行了
次
乘法运算及次加法运算所总共进行了
次
由改进算法可知：
,
,
运算次数从后往前算和为：
次
【名师指津】
本题目属于信息题,做此类题需要认真分析题目本身所给的信息.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求的单调减区间；
（Ⅱ）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
【答案】
【详解】
解：（I）
令
,解得
或
所以函数的单调递减区间为
（II）因为
所以
因为在
上
,所以在
单调递增,又由于
在
上单调递减,因此
和
分别是在区间
上的最大值和最小值.
于是有
,解得
故
因此
即函数在区间上的最小值为
【名师指津】
函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题近几年高考试题中屡屡出现,成为热门题型.要
熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路.
16．（本小题共14分）
如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=
，
AC⊥BD，垂足为E.
（Ⅰ）求证BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A1—BD—C1的大小；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的余弦值.
解法一：
（I）在直四棱柱
中,
底面
,
是
在平面上的射影.
（II）连结
与（I）同理可证
为二面角
的平面角.
又
且
在
中,
， 
，
即二面角的大小为90°
（III）过B作BF∥AD交
于
,连结
则
就是
与
所成的角.
在
中,
。
即异面直线与所成角的余弦值为
。
解法二：
（I）同解法一.
（II）如图,以D为坐标原点,
所
在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间
直角坐标系.
连结
与（I）同理可证,
为二面角的平面角.
得
。
∴ 
。∴
。
∴ 二面角的大小为90°.
（II）如图,由
，得
。
∵ 
，
∴
。
即异面直线与所成角的余弦值为。
解法三：
（I）同解法一.
|
连结
与（I）同理可证,
为二面角的平面角.
由
得
二面角的大小为
（III）如图,由
得
异面直线与所成角的大小为
【名师指津】
三垂线定理,二面角的平面角、线面角、两条异面直线所成的角作法及求法,线线、线面、面面平
行与直线的判断与性质,构成了立体几何的主要内容,平时学习时应将之落实.
17．（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率为
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
【答案】
【详解】
解：（I）
的概率分布如下表：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
或
（II）乙至多击中目标2次的概率为
（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次
为事件
,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件
,则
为互斥事件.
所以,甲恰好比乙多击中目标2次的概率为
.
【名师指津】
概率应用题在每年的各地高考试题中基本上都会有所涉及,而且本类题相对比较容易解决,复习时一定将这类题落实.
18．（本小题共14分）
如图，直线l1：
与直线l2：
之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.
（Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2；
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别
交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.
 |
【答案】
【详解】
解：（I）
（II）直线
直线
,由题意得
即
由
知
所以
即
所以动点P的轨迹方程为
（III）当直线
与轴垂直时,可设直线的方程为
由于直线、曲线C关于轴对称,
且
与
关于轴对称,于是
的中点坐标都为
,所以
的重心坐标都为
,即它们的重心重合.
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为
由
,得
由直线 与曲线C有两个不同交点,可知
,且
设
的坐标分别为
则
设
的坐标分别为
由
从而
所以
所以
于是
的重心与
的重心也重合.
【名师指津】
本题为解析几何的综合题型,在高考试题中解析经常会与函数、数列、不等式、向量等综合考
查各种数学思想及方法.
19．（本小题共12分）
设数列
记
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）求
【答案】
【详解】
解：（I）
（II）
因为
,所以
所以
猜想：
是公比为
的等比数列.
证明如下：
因为
所以是首项为
,公比为的等比数列.
（III）
【名师指津】
数列类型题,数列通项公式的递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之
通项公式的方法应掌握,另外递推公式与数学归纳法思想一致,数学归纳法证明方法经常在此类
题中运用.等差等比数列的通项公式及前项和公式的求法和运用,等差等比数列的性质做为本
章复习的重点内容.
20．（本小题共14分）
设是定义在[0，1]上的函数，若存在
上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.
对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
（Ⅰ）证明：对任意的
为含峰区间；
若
为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0<r<0.5），证明：存在
，使得由（Ⅰ）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取
，由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，
）或（
，1），在所得的含峰区间内选取
类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定
的值，满足两两之差的绝地值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
【答案】
【详解】
（I）证明：设
为的峰点,则由单峰函数定义可知
在
上单调递增,
在
上单调递减.
当
时,假设
,则
从而
这与矛盾,所以
,即
是含峰区间.
当
时,假设
,则
,从而
这与矛盾,所以
,即
是含峰区间.
（II）证明：由（I）的结论可知：
当时,含峰区间的长度为
当时,含峰区间的长度为
对于上述两种情况,由题意得
由①得
,即
又因为
,所以
将②代入①得
由①和③解得
所以这时含峰区间的长度
,即存在
使得所确定的含峰区间
的长度不大于
（III）解：对先选择的
,由（II）可知
在第一次确定的含峰区间为的情况下, 
的取值应满足
由④与⑤可得
当
时,含峰区间的长度为
由条件
,得
,从而
因此,为了将含峰区间的长度缩短到
,只要取
【名师指津】
本题为信息题,通过题目中给出的信息结合已学过的数学知识解决这类问题.