高考数学普通高等学校招生全国统一考试63

高考数学普通高等学校招生全国统一考试63

YCY本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题　共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数的共轭复数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 D．

解：　　　　 选(B)

2．已知等差数列中，，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．15　　　　　　　　　　　B．30　　　　　　　　　　　 C．31　　　　　　　　　　　D．64

解：由,得a₈=8,∴,∴a₁₂=1+8×=15,选(A)

3．在△ABC中，∠C=90°，则k的值是　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．5　　　　　　　　　　　　B．－5　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

解：∵∠C=90°,∴,即((k-2,-2)·(2,3)=0,解得K=3,选(A)

4．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：

　 ①若

　 ②若

　 ③若

　 其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．3

解：②③命题为真命题,选(C)

5．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是　　　　　　（　　）

　　　 A．

　　　 B．

　　　 C．

　　　 D．

解：从曲线走向可知0<a<1,从曲线位置看,是由y=a^x(0<a<1)向左平移-b个单位而得到,故-b>0,即b<0,选(D)

6．函数的部分图象如图，则　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　 B．

　　　 C．　 D．

解：由图得,由T=,得,在y=sin()中令x=1,y=1,得,,得,选(C)

7．已知p：则p是q的（　　）

　　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　D．既不充分也不必要条件

解：由得-1<x<2即x∈(-1,2),由得0<x<3,即x∈(0,3),∵(-1,2)不是(0,3)的子集,(0,3)也不是(-1,2)的子集,选(D)

8．如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，

AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中

点，则异面直线A₁E与GF所成的角是（　　）

　　　 A．　　　　 B．

　　　 C．　　　　 D．

解：∵GB₁∥A₁E,∠B₁GF即为A₁E与GF所成的角,B₁G=

B₁F=,GF=,B₁G²+FG²=B₁F²∴

∠B₁GF=90°,选(D)

9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．300种　　　　　　　　B．240种　　　　　　　　 C．144种　　　　　　　　D．96种

解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有种选择方案,综上不同的选择方案共有++=240,选(B)

10．已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　D．

解：设E是正三角形MF₁F₂的边MF₁与双曲线的交点,则点E的坐标为(),代入双曲线方程,并将c=ae代入,整理得e⁴-8e²+4=0,由e>!,解得e=,选(D)

11．设的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　C．－3　　　　　　　　　　 D．

解：a=,b=,则a+b=3sin(),其中,的最小值为-3.选(C)

12．是定义在R上的以3为周期的奇函数，且在区间（0，6）内解的个数的最小值是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．5

解：由题意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5,选(D)

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．展开式中的常数项是　　　　　　　　 （用数字作答）。

解：T_r+1=,令6-3r=0得r=2,故展开式中的常数项是240

14．非负实数满足则x+3y的最大值为　　　　　　　  。

解：如右图,在同一平面直角坐标系中画出下列

曲线方程的图象:

2x+y-4=0　　(x≥0,y≥0)

x+y-3=0　　 (x≥0,y≥0)

它们分别是线段AB,CD

则非负实数x、y满足的不等式组

表示的区域为DMAO,令x+3y=b,

使直线系x+3y=b通过区域DMAO且使b为取得最大值,当且仅当直线x+3y=b过点D(0,3)这时最大值b=9.

15．若常数b满足b>1，则　　　　　  .

解：=

16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数的图象与的图象关于　　　　　  对称，则函数=

　　　　　　　　 。

解：若函数的图象与的图象关于y=x对称, 则函数=2^x-3.

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知.

　 （I）求sinx－cosx的值；

　 （Ⅱ）求的值.

解：(Ⅰ)由,得,得2sinxcosx=,∵(sinx-cosxx)²=1-2sinxcosx=,又∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-

(Ⅱ) =

=

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

解：(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则

	0	1	2
P

P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,甲、乙两人得分之和的可取值为0、1、2,则概率分布为

E=0×+1×+2×=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为

(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-=1-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为.

19．（本小题满分12分）

已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

解：(Ⅰ)由函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,(-1)=.∵(x)=,∴

即解得a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1舍去)

∴所求函数y=f(x)的解析式是

(Ⅱ),令-2x²+12x+6=0,解得x₁=,x₂=

当x<,或x>时,;当<x<时,,

所以在(-∞, )内是减函数;在(,)内是增函数;

在(,+∞)内是减函数

20．（本小题满分12分）

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

　　　　　　　　　　　　　　　　　

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴点D点D到平面ACE的距离为.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0),　 

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴,∴点D到平面ACE的距离

d=.

21．（本小题满分12分）

已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足，

cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)由题意可得直线ι：,　　 ①

过原点垂直ι的方程为　　　　　　 ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故椭圆C的方程为.　　　 ③

(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,则x₁+x₂=,x₁x₂=,

MN=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..

22．（本小题满分14分）

已知数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；

（Ⅱ）设数列{b_n­}满足b₁=－1, b_n+1=，求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围.

解：(Ⅰ)∵a₁=a,∴1+=a₂,∴a₂=,,,

故当时,

(Ⅱ)∵b₁=-1,

当a=b₁时,a₁=1+=0

当a=b₂时,a₂==b₁,∴a₂=0,

当a=b₃时,a₃=1+=b₂,∴a₃=1+,∴a₄=0,

……

一般地,当a=b_n时,a_n+1=0,可得一个含育n+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_n+1.

可用数学归纳法加以证明：

①　　 当n=1时,a=b₁,显然a₂=0,得到一个含2项的有穷数列a₁,a₂.

②　　 假设当n=k时,a=b_k,得到一个含有k+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_k+1,其中a_k+1=0,则n=k+1时.a=b_k+1,∴a₂=1+.

由假设可知,可得到一个含有k+1项的有穷数列a₂,a₃,…,a_k+2,其中a_k+2=0.

由①②知,对一切n∈N⁺,命题都成立.

(Ⅲ)要使即,∴1<a_n-1<2.

∴要使,当且仅当它的前一项a_n-1,满足1<a_n-1<2,∵(,2)(1,2),

∴只须当a₄,都有

由得,

解不等式组得,故a>0.