高考数学普通高等学校招生全国统一考试64

高考数学普通高等学校招生全国统一考试64

数学（文史类）

YCY

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题　共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合R，等于　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．P　　　　　　　　　　　　B．Q　　　　　　　　　　　　C．{1，2}　　　　　　　 D．{0，1，2}

解：∵P=[0,2],={0,1,2},选(D)

2．不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

解：∵不等式的解是x>或x<,选(A)

3．已知等差数列中，的值是　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．15　　　　　　　　　　　B．30　　　　　　　　　　　 C．31　　　　　　　　　　　D．64

解：由,得a₈=8,∴,∴a₁₂=1+8×=15,选(A)

4．函数在下列哪个区间上是减函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　　　　　D．

解：∵当0≤2x≤π,即0≤x≤时函数是减函数,选(C)

5．下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．当　　　　　 B．

　　　 C．的最小值为2　　　　　 D．当无最大值

解：(A)中lgx不满足大于零,(C)中的最小值为2的x值取不到,(D) 当x=2时有最大值,选(B)

6．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列

结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　B．

　　　 C．　D．

解：从曲线走向可知0<a<1,从曲线位置看,是由y=a^x(0<a<1)向左平移-b个单位而得到,故-b>0,即b<0,选(D)

7．已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：

　　　 ①若m//，n//，则m//n；

　　　 ②若m//，n⊥，则n⊥m；

　　　 ③若m⊥，m//，则⊥.

　　　 其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．3

解：②③命题为真命题,选(C)

8．已知的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解：∵由,反之q推不出p,选(B)

9．已知定点A、B且AB=4，动点P满足PA－PB=3，则PA的最小值是　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．5

解；点P在以A,B为焦点,2a=3的双曲线的右支上,∴PA的最小值为1.5+2=3.5,选(C)

10．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　  ）

　　　 A．300种　　　　　　　　B．240种　　　　　　　　 C．144种　　　　　　　　D．96种

解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有种选择方案,综上不同的选择方案共有++=240,选(B)

11．如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成的角是　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　 B．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 C．　　　 D．

解：∵GB₁∥A₁E,∠B₁GF即为A₁E与GF所成的角,B₁G=

B₁F=,GF=,B₁G²+FG²=B₁F²∴

∠B₁GF=90°,选(D)

12．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间

（0，6）内解的个数的最小值是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．5　　　　　　　　　　　　B．4　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．2

解：由题意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5,选(D)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置.

13．（展开式中的常数项是　　　　　 （用数字作答）

解：T_r+1=,令6-3r=0得r=2,故展开式中的常数项是240

14．在△ABC中，∠A=90°，的值是　　　　  .

解：由,得k=

15．非负实数x、y满足的最大值为　　　　  .

解：如右图,在同一平面直角坐标系中画出下列

曲线方程的图象:

2x+y-4=0　　(x≥0,y≥0)

x+y-3=0　　 (x≥0,y≥0)

它们分别是线段AB,CD

则非负实数x、y满足的不等式组

表示的区域为DMAO,

令x+3y=b,使直线系x+3y=b通过区域DMAO且使b为取得最大值,当且仅当直线x+3y=b过点D(0,3)这时最大值b=9.

16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.

若函数的图象与的图象关于　　　　 对称，则函数=

　　　　  .

（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）

解：若函数的图象与的图象关于y=x对称, 则函数=2^x-3.

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知.

　 （Ⅰ）求的值；

　 （Ⅱ）求的值.

解：(Ⅰ)由,得,得2sinxcosx=,∵(sinx-cosxx)²=1-2sinxcosx=,又∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-

(Ⅱ) ==

18．（本小题满分12分）

　　甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.

　 （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.

(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=

甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为

P()=P()+P()=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为

(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-=1-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为

19．（本小题满分12分）

　　　 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

　 （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由.

解：(Ⅰ)由题意得：2a₂=a₁+a₂,即2a₂q²=a₁+a₁q,,∵a₁≠0,∴2q²-q-1=0,∴q=1或q=

(Ⅱ)若q=1,则.

当n≥2时,,故

若q=,则,

当n≥2时, ,

故对于n∈N⁺,当2≤n≤9时,S_n>b_n；当n=10时, S_n=b_n；当n≥11时, S_n<b_n

20．（本小题满分12分）

已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.

　 （Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

解：(Ⅰ)由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x²+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知

-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.

故所求的解析式为f(x)=x³-3x-3+2,

(Ⅱ) (x)=3x²-6x-3,令3x²-6x-3=0即x²-2x-1=0,解得x₁=1-,x₂=1+,

当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-<x<1+时, (x)<0

∴f(x)=x³-3x²-3x+2在(1+,+∞)内是增函数,在(-∞, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.

21．（本小题满分12分）

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴点D点D到平面ACE的距离为.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0),　 

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴,∴点D到平面ACE的距离

d=.

22．（本小题满分14分）

　　　 已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot

　　　∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)由题意可得直线ι：,　　 ①

过原点垂直ι的方程为　　　　　　 ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故椭圆C的方程为.　　　 ③

(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,则x₁+x₂=,x₁x₂=,

MN=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..