高考数学普通高等学校招生全国统一考试42
满分150分
第I卷
参考公式：
三角函数的积化和差公式 函数求导公式
sina cos b ＝ [sin (a ＋ b ) ＋ sin (a－b )] (u±v)’ ＝ u’±v’
cosa sin b ＝ [sin (a ＋ b )－sin (a－b )] (uv)’ ＝ u’v ＋ uv’
cosa cos b ＝ [cos (a ＋ b ) ＋ cos (a－b )] ( )’ ＝ （v ≠ 0）
sina sin b ＝ －[cos (a ＋ b )－cos (a－b )] f ’(j (x)) ＝ f ’(u) j ’(x)，其中 u ＝ j (x)
锥体体积公式 球的体积公式
V锥体 ＝ Sh V球体 ＝ pR 3
其中 S 表示底面积，h 表示高 其中R表示球的半径
一. 选择题（共12小题，每题5分，计60分）
（1）已知平面向量
＝（3，1），
＝（x，–3），且⊥，则x＝
（A） –3 （B） –1 （C） 1 （D）3
（2）已知A＝{x2x＋1＞3}，B＝{xx2＋x≤6}，则A∩B＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设函数 
在x＝2处连续，则a＝
（A）－
（B）－
（C）
（D）
（4）
的值为
（A）–1 （B）0
（C）
（D）1
（5）函数f（x）＝
－
是
（A）周期为
的偶函数
（B）周期为的奇函数
（C）周期为2的偶函数
（D）周期为2的奇函数
（6）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
（7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是
（A）
（B）
（C）
（D） 
（8）若双曲线2x2－y2＝k（k＞0）的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k＝
（A） 6 （B） 8 （C） 1 （D） 4
（9）当0＜x＜
时，函数f（x）＝
的最小值是
（A） 4
（B）
（C）2
（D）
（10）变量x、y满足下列条件：
，则使z＝3x＋2y的值最小的（x，y）是
（A）（4.5，3） （B）（3，6） （C）（9，2） （D）（6，4）
（11）若
，则
（A）
＞
＞
（B）＞＞
（C） ＞＞
（D） ＞ ＞
（12）如右下图，定圆半径为a，圆心为（b
，c），
则直线ax＋by＋c＝0与直线 x–y＋1＝0的交点在
（A）第四象限
（B）第三象限
（C）第二象限
（D）第一象限
二.填空题（共4小题，每题4分，计16分）
（13）某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 （用分数作答）
（14）已知复数z与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝ .
（15）由图（1）有面积关系：
，则由图（2）有体积关系：
＝
.
（16）函数
（x＞0）的反函数
＝
.
三.解答题（共6小题，74分）
（17）（12分）已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列. 求α，β，γ的值.
（18）（12分）如右下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝ 4， AD ＝3， AA1＝ 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝ FB＝1.
（Ⅰ）求二面角C—DE—C1的正切值;
（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值.
（19）（12分）设函数
（x＞0）.
（Ⅰ）证明: 当0＜a＜b ，且
时，ab＞1;
（Ⅱ）点P（x0，y0）
0＜x0＜1
在曲线
上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x0表达）.
（20）（12分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）
（21）（12分）设函数
，其中常数m为整数.
（Ⅰ）当m为何值时，
≥0；
（Ⅱ）定理: 若函数g（x） 在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x0∈（a，b），使g（x0）＝0.
试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）＝ 0，在[e－ｍ－m ，e2ｍ－m ]内有两个实根.
（22）（14分）设直线l与椭圆
相交于A、B两点，l又与双曲线x2－y2＝1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB.求直线l的方程.
参考答案
一、选择题
CACAB DDAAB DB
二、填空题：
（13）
（14）－2i (15)
(16)
三、解答题
17．解：∵α，β，γ成公比为2的等比数列，∴β＝2α，γ＝4α
∵sinα，sinβ，sinγ成等比数列
当cosα＝1时，sinα＝0，与等比数列的首项不为零，故cosα＝1应舍去，
18．解：（I）以A为原点，
分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有
D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)
于是，
设向量
与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则
19.证明：（I）
故f(x)在（0，1
上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数，由0＜a＜b且f(a)＝f(b)得0＜a＜1＜b和
故
（II）0＜x＜1时，
曲线y＝f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：
∴切线与x轴、y轴正向的交点为
故所求三角形面积听表达式为：
20．解：如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x，y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得PA＝PB，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故PB－ PA＝340×4＝1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
上，
依题意得a＝680， c＝1020，
用y＝－x代入上式，得
，∵PB＞PA，
答：巨响发生在接报中心的西偏北450，距中心
处.
21.（I）解：函数f(x)＝x－ln(x＋m)，x∈(－m，＋∞)连续，且
当x∈(－m，1－m)时，f ’（x）＜0，f(x)为减函数，f(x)＞f(1－m)
当x∈(1－m， ＋∞)时，f ’（x）＞0，f(x)为增函数，f(x)＞f(1－m)
根据函数极值判别方法，f(1－m)＝1－m为极小值，而且
对x∈(－m， ＋∞)都有f(x)≥f(1－m)＝1－m
故当整数m≤1时，f(x) ≥1－m≥0
(II)证明：由（I）知，当整数m＞1时，f(1－m)＝1－m＜0，
函数f(x)＝x－ln(x＋m)，在
上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的
而当整数m＞1时，
类似地，当整数m＞1时，函数f(x)＝x－ln(x＋m)，在
上为连续增函数且 f(1－m)与
异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m＞1时，方程f(x)＝0在
内有两个实根。
22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为
y＝kx＋b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有
，由
若
，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由
故l的方程为
(ii)当b＝0时，由(1)得
由
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x＝c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
综上所述，故l的方程为、和