高考数学高等学校招生全国统一考试34

高考数学高等学校招生全国统一考试34

数学（文史类）（老课程）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

参考公式：

正棱台、圆台的侧面积公式 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示 斜高或母线长 台体的体积公式 其中R表示球的半径

三角函数的和差化积公式　　　　　 　　　　　　

　　　

　

　

　　　

一、选择题

（1）设集合，，　　则集合中元素的个数为

（A）1　　　　　　　 （B）2　　　　 　　　 （C）3　　　　　  （D）4

（2）函数的最小正周期是

（A）　　  　　　　（B）　　　　  　 （C）　　　　  　　　 （D）

（3）记函数的反函数为，则

　　（A） 2　　　　  　（B） 　　　　　　 （C） 3　　  　　　　　（D）　

（4）等比数列中， ，则的前4项和为

（A）　81　　　 　　　 （B）　120　　　（C）168　　　　　　　（D）　192

（5）圆在点处的切线方程是

（A） 　　　　　　　　　　　（B）

（C）　　　　　　　　　　　 （D）

（6）展开式中的常数项为

（A）　 15　　　　　 （B） 　　　　　 （C） 20　　　　　　 （D）

（7） 设复数的幅角的主值为，虚部为，则

（A） 　　　　　　　　　　　　 （B）

（C）　　　　　　　　　　　　　　（D）

（8） 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率

（A） 5　　　　　　 （B） 　　　　　 （C）　　　　　　　　 （D）

（9）不等式的解集为

（A）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （B）　

（C） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （D）

（10）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为

（A） 　　　（B） 　　　　　　（C） 　　　　　 （D）

（11）在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为　　　　　　　　　　　　　　　　　（A）　 　　 （B）　　 （C）　 　　　　　　　　　　 （D）

（12）4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有

（A） 12　种　　  （B） 24 种　　　 （C）36　种　 　　　　 （D） 48 种　

 

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.

（13）函数的定义域是　　　　　　　　　　　　　 .

（14）用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为　　　　　　　　　　　 .

（15）函数的最大值为　　　　　　　　　　 .

（16） 设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为

　　　　　　　　　　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

解方程

（18）（本小题满分12分）

已知α为锐角，且的值.

（19）（本上题满分12分）

设数列是公差不为零的等差数列，S_n是数列的前n项和，且

，求数列的通项公式.

（20）（本小题满分12分）

某村计划建造一个室内面积为800m²的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

（21）（本小题满分12分）

三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1) 求证AB⊥BC；

(2) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

（22）（本小题满分14分）

设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在点P，使得直线PF₂与直线PF₂垂直.

　 （1）求实数m的取值范围；

　 （2）设L是相应于焦点F₂的准线，直线PF₂与L相交于点Q. 若，求直线PF₂的方程.

普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）（老课程）参考答案

一 选择题

（1）B　　 （2）C　　 （3）B　　 （4）B　　 （5）D　　（6）A

（7）A　　 （8）C　　 （9）D　　 （10）C　　（11）B　 （12）C

二 填空题

（13）　　 （14）　　 （15）　 （16）1

三、解答题

（17）本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识. 满分12分.

解：

　　

　　（无解）. 所以

（18）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力. 满分12分.

解：原式

因为　

所以　 原式.

因为为锐角，由.

所以　原式

因为为锐角，由

所以　 原式

（19）本小题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式等基础知识，根据已知条件列方程以及运算能力.满分12分.

解：设等差数列的公差为d，由及已知条件得

， ①

　　 ②

由②得，代入①有

解得 　 当舍去.

因此　

故数列的通项公式

（20）本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力. 满分12分.

解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则

　　　　蔬菜的种植面积

　　　　

　　　　 

　　　　所以

　　　　当

　　　　答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m².

（21）本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想象能力. 满分12分.

E

（1）证明：如果，取AC中点D，连结PD、BD.

　　 因为PA=PC，所以PD⊥AC，

 又已知面PAC⊥面ABC，

D

 所以PD⊥面ABC，D为垂足.

 因为PA=PB=PC，

 所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC外接圆直径，

 因此AB⊥BC.

（2）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.

　　  又面PAC⊥面ABC，

　　  所以BD⊥平面PAC，D为垂足.

　　  作BE⊥PC于E，连结DE，

　　  因为DE为BE在平面PAC内的射影，

　　  所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.

　　  在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

　　  在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

　　  所以

　　  因此，在Rt△BDE中，，

　　  ，

　　  所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.

（22）本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力. 满分14分.

解：（1）由题设有

设点P的坐标为（），由，得，

化简得　 　　①

将①与联立，解得　

由

所以m的取值范围是.

（2）准线L的方程为设点Q的坐标为，则

　 ②

将代入②，化简得

由题设，得 ，无解.

将代入②，化简得

由题设，得

解得m=2.

从而得到PF₂的方程