高考普通高等学校招生全国统一考试75
数 学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率
其中R表示球的半径
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（１）数
．在复平面内，z所对应的点在
（
）
（Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限
【答案】B
【解答】∵
∴z所对应的点在第二象限．故选B．
【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．
（２）极限
存在是函数
在点
处连续的
（ ）
（Ａ）充分而不必要的条件 （Ｂ）必要而不充分的条件
（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要的条件
【答案】B
【解答】∵极限存在且
，则函数在点处连续的，
∴极限存在是函数在点处连续的必要而不充分的条件，故选B．
【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要．
（３）设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【答案】D
【解答】从袋中任取10个球有
种，其中恰有6个红球有
种，故选D．
【点拨】分析如何完成取球任务，再利用组合计算．
（４）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：
①若
，
，则
；
②若
，
，则；
③若
，
，
，则；
④若m、n是异面直线，，
，，
，则，
其中真命题是
（Ａ）①和② （Ｂ）①和③ （Ｃ）③和④ （Ｄ）①和④
【答案】D
【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当
与
相交时，若m、n平行于两平面的交线，则，所以③错误；因为若m、n是异面直线，，，，，当且仅当，所以④正确．
【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决．
（５）函数
的反函数是
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【答案】C
【解答】由，得
，即
，
两边平方，化简得
，故
，即
，
∴的反函数是．
【点拨】求反函数设法解出x ．
（６）若
，则a的取值范围是
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【答案】C
【解答】法一：代特殊值验证
法二：①当
，即
时，无解；
②当
，即
时，
，故选C．
【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．
（７）在Ｒ上定义运算
：
．若不等式
对任意实数x成立，则
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【答案】C
【解答】∵
，∴不等式对任意实数x成立，则
对任意实数x成立，即使
对任意实数x成立，所以
，解得，故选C．
【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．
（８）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m，则m的范围是
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【答案】B
【解答】∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，
∴其中一个角为60º，如图，直角三角形时，
，
所以钝角三角形时，有
，故选B．
【点拨】利用数形结合解题较快捷．
（９）若直线
按向量
平移后与圆
相切，则c的值为
（Ａ）８或－２ （Ｂ）６或－４ （Ｃ）４或－６ （Ｄ）２或－８
【答案】A
【解答】由
，得
，所以平移后，得
，其与圆相切，即圆心到直线的距离为
，即
，解得
或
，故选A．
【点拨】熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理．
（10）已知
是定义在Ｒ上的单调函数，实数
，
，
，
．若，则
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【答案】A
【解答】数形结合法：当
，如图Ａ所示，
有
，当时，
如图Ｂ所示，有
，
故选A．
【点拨】数形结合解决定比分点问题．
（11）已知双曲线的中心在原点，离心率为
．若它的一条准线与抛物线
的准线重合，则
该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）21
【答案】B
【解答】由
，得
，由一条准线与抛物线的准线重合，得准线为
，所以
，故
，
，
，所以双曲线方程为
，由
，得交点为
，所以交点到原点的距离是，故选Ｂ．
【点拨】由已知条件发拨出a、b、c的取值，得到双曲线的方程．
（12）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列
满足
，则该函数的图象是
 |
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【答案】A
【解答】由，
，得
，即
，故选A ．
【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（13）
的展开式中常数项是______________．
【答案】－160
【解答】通项公式为
，
由
，得
，所以常数项是
，
【点拨】熟悉二项式展开式的通项公式．
（14）如图，正方体的棱长为１，Ｃ、Ｄ分别是两条棱的中点，Ａ、
Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面
的距离是_____________．
【答案】
【解答】如图建立空间直角坐标系
，
，
，
，
，则
，
，
设
为平面法向量，则有
，即
，解得
，即
，所以点Ｍ到截面的距离
．
【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法．
（15）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）
【答案】576
【解答】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有
种，再将７、８插入4个空位中的两个有
种，故有
种．
【点拨】相邻用捆绑法，不相邻用插空法
（16）
是正实数，设
，若对每个实数a ，
∩
的元素不超过２个，且有a使∩含有２个元素，则的取值范围是___________．
【答案】
【解答】∵
是奇函数，且
，
∴
，
∴
，
Z，
∵∩的元素不超过２个，
∴
，∴
，
∵且有a使∩含有２个元素，
∴
，∴
，∴
，
【点拨】通过数轴得出∩元素个数与两点间距离的关系再求解．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题共12分）。
已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
(Ⅰ)证明PC⊥平面PAB；
(Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值；
(Ⅲ)若点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ在一个表面积为12π的球面上，
求△ABC的边长．
( 18 )（本小题共12分）
如图，在直径为１的圆
中，作一关于圆心对称、邻边互相
垂直的十字形，其中
．
(Ⅰ)
将十字形的面积表示为
的函数；
(Ⅱ)
为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
( 19 )（本小题共12分）
已知函数
．设数列满足
，，数列
满足
，
…
，
(Ⅰ)用数学归纳法证明
；(Ⅱ)证明 
．
（20）（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的
加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生
产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用
、
分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ）
的条件下，求、的分布列及
、
；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资
金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资
金60万，设
、
分别表示生产甲、乙产品
的数量，在（Ⅱ）的条件下，、为何值时
最大？最大值是多少？
（解答时须给出图示）
（21）（本小题满分14分）
已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
，
是椭圆外的动点，满足
，
点Ｐ是线段
与该椭圆的交点，点Ｔ在线段
上，并且
满足
．
（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 
；
（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；
（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△
的面积
．若存在，求
∠的正切值；若不存在，请说明理由．
（22）（本小题满分12分）
| |
在区间
内可导，导函数
是减函数，且
．设
，
是曲线在点
处的切线方程，并设函数
．
（Ⅰ）用
、
、
表示m；
（Ⅱ）证明：当
，
；
（Ⅲ）若关于x的不等式
在
上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系．
普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
(1) B (2) B (3) D (4) D (5) C (6) C
(7) C (8) B (9) A (10) A (11) B (12) A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
(13) －160 (14)
(15)
576 (16)
三、解答题
(17)本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.
（Ⅰ）证明：连结CF.
，
∴
，
∴
平面
，
，
∴
∴
平面
……4分
（Ⅱ）解法一：
∴
为所求二面角的平面角.
设AB=a，则
，
∴
． ……8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O.
≌
，∴
≌
得
. 于是O是△ABC的中心.
∴
为所求二面角的平面角.
设AB=a，则
∴
……8分
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.，
∴
，
，
∴
，得
，
∴
. ……12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形.
设AB=x，球半径为R.
，
∴
，
，
∴
,
，
∴. ……12分
18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和
三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则
……4分
（Ⅱ）解法一：
其中
………8分
当
最大.
……10分
所以，当
最大.
S的最大值为
……12分
解法二： 因为
所以
……8分
令
，即
可解得
……10分
所以，当时，S最大，S的最大值为 ……12分
19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）证明：当
因为a1=1，所以
……2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1=
，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 
……6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 ……8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以 
……10分
故对任意
……12分
20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12
分.
（Ⅰ）解：
……2分
（Ⅱ）解：随机变量、
的分别列是
 |
……6分
（Ⅲ）解：由题设知
目标函数为
……8分
作出可行域（如图）：
作直线
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
的点M点与原点距离最大，此时
……10分
取最大值. 解方程组
得
即
时，z取最大值，z的最大值为25.2 . ……12分
21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由P
在椭圆上，得
由
，所以 
……3分
证法二：设点P的坐标为记
则
由
，得
．
证法三：设点P的坐标为
椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得
，即
由
，所以
……3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当
时，点（
，0）和点（－，0）在轨迹上.
当
时，
由
，得
.
又
，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF
，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
……7分
解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当
时，由
，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（
），则
因此
①
由
得
②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是
……7分
|
）使S=
的充要条件是
由③得
，
由④得
所以，当
时，存在点M，使S=；
当
时，不存在满足条件的点M. ……11分
当时，
，
由
，
，
，得
解法二：
C上存在点M（）使S=的充要条件是
|
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M. ……11分
当时，记
，
由
知
，所以
……14分
22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：
……2分
（Ⅱ）证明：令
因为
递减，所以
递增，因此，当
；当
.
所以
是
唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此
即
……6分
（Ⅲ）解法一：
，
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意
成立的充要条件是
另一方面，由于
满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，
的充要条件是：过点（0，
）与曲线
相切的直线的斜率大于，该切线的方程为
于是
的充要条件是
……10分
综上，不等式
对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系. ……12分
（Ⅲ）解法二：
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
……8分
令
，于是
对任意成立的充要条件是
由
当
时
当
时，
，所以，当
时，
取最小值.因此
成立的充要条件是
，即
………10分
综上，不等式
对任意
成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系. ……12分