高考试题理科数学试题
一. 选择题
(1)设集合
,则满足
的集合B的个数是（ ）
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有
个。故选择答案C。
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。
(2) 设
是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)
是奇函数 (B)
是奇函数
(C) 
是偶函数 (D) 
是偶函数
【解析】A中
则
，
即函数为偶函数，B中
，
此时
与
的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中
，
，即函数为奇函数，D中
，
，即函数为偶函数，故选择答案D。
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。
(3) 给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线
与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。
【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。
(4) 双曲线
的两条渐近线与直线
围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
(A)
(B)
(C) 
(D) 
【解析】双曲线的两条渐近线方程为
，与直线围成一个三角形区域时有。
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。
(5) 设+是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意
有
+
,则称A对运算+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
【解析】A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1
2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中
不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。
【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。
(6)
的三内角
所对边的长分别为
设向量
,
,若
,则角
的大小为
(A)
(B)
(C) 
(D) 
【解析】
，利用余弦定理可得
，即
，故选择答案B。
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。
(7) 与方程
的曲线关于直线
对称的曲线的方程为
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
【解析】
，
，即：
，所以
，故选择答案A。
【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能力。
(8) 曲线
与曲线
的
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。
(9) 在等比数列
中,
,前
项和为
,若数列
也是等比数列,则等于
(A)
(B) 
(C) 
(D)
【解析】因数列为等比，则
，因数列也是等比数列，
则
即
，所以
，故选择答案C。
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
(10) 直线
与曲线
的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将代入得：
，显然该关于
的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
(11)已知函数
,则的值域是
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
【解析】
即等价于
，故选择答案C。
【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。
(12) 设
,
,
,点
是线段
上的一个动点,
,若
,则实数
的取值范围是
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
【解析】
解得: ,因点是线段上的一个动点,所以
,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B.
【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.
二. 填空题
(13) 设
则
__________
【解析】
.
【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
(14) 
_____________
【解析】
【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.
(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
【解析】两老一新时, 有
种排法;
两新一老时, 有
种排法,即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为
,则
=______
【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故
.
【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.
三． 解答题
(17) (本小题满分12分)
已知函数
，
.求:
(I)
函数的最大值及取得最大值的自变量
的集合；
(II)
函数的单调增区间.
【解析】(I) 解法一:
当
,即
时, 取得最大值
.
函数的取得最大值的自变量的集合为
.
解法二:
当,即时, 取得最大值.
函数的取得最大值的自变量的集合为.
(II)解: 
由题意得: 
即: 
因此函数的单调增区间为
.
【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.
(18) (本小题满分12分)]
已知正方形
.
、
分别是、
的中点,将
沿
折起,如图所示,记二面角
的大小为
.
(I)
证明
平面
;
(II)若
为正三角形,试判断点
在平面
内的射影
是否在直线
上,证明你的结论,并求角
的余弦值.
【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
EB//FD,且EB=FD,
四边形EBFD为平行四边形.
BF//ED
平面.
(II)解法1:
如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.
ACD为正三角形,
AC=AD
CG=GD
G在CD的垂直平分线上,
点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则
,所以
为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=
,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形, 
在RtADE中, 
.
解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作
,垂足为
.
ACD为正三角形,F为CD的中点,
又因
,
所以
又且
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
.
解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形,F为CD的中点,
又因,
所以
又
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
,
.
【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.
(19) (本小题满分12分)
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
、
、
;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是
,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为
,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时,
一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量
、
分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求、的概率分布和数学期望
、
;
(II) 当
时,求
的取值范围.
【解析】
(I)解法1: 的概率分布为
|
| 1.2 | 1.18 | 1.17 |
| P |
|
|
|
E=1.2
+1.18
+1.17
=1.18.
由题设得
,则的概率分布为
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
故的概率分布为
|
| 1.3 | 1.25 | 0.2 |
| P |
|
|
|
所以的数学期望为
E=
+
+
=
.
解法2: 的概率分布为
|
| 1.2 | 1.18 | 1.17 |
| P |
|
|
|
E=1.2+1.18+1.17=1.18.
设
表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则
P(=0)= 
;
P(=1)=
;
P(=2)=
故的概率分布为
|
| 1.3 | 1.25 | 0.2 |
| P |
|
|
|
所以的数学期望为
E=++=.
(II) 由,得:
因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.
【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.
(20) (本小题满分14分)
已知点
,
是抛物线
上的两个动点,
是坐标原点,向量
,
满足
.设圆的方程为
(I)
证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为
时，求p的值。
【解析】(I)证明1: 
整理得: 
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得:
……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点
满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得:
……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值
,由题设得
.
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,
所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
当
时,d有最小值,由题设得
.
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=
,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设
［1-
］上，
，在
，将点
A， B， C
(I)求
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为
，求a ,d的值
【解析】(I)解: 
令
,得
当
时, 
;
当
时, 
所以f(x)在x=-1处取得最小值即
(II) 
的图像的开口向上,对称轴方程为
由
知
在
上的最大值为
即
又由
当时, 
取得最小值为
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得
.
解法2:
又c>0知在上的最大值为
即:
又由
当时, 取得最小值为
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得
【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
22．（本小题满分12分）
已知
,其中
,
设
,
.
(I)
写出
;
(II)
证明:对任意的
,恒有
.
【解析】(I)由已知推得
,从而有
(II)
证法1:当
时,
当x>0时, 
,所以在[0,1]上为增函数
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数
所以对任意的
因此结论成立.
证法2: 当时,
当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数
所以对任意的
又因
所以
因此结论成立.
证法3: 当时,
当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数
所以对任意的
由
对上式两边求导得
因此结论成立.
【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.