普通高等学校招生全国统一考试数学
第四章《三角函数》题目汇编及详解
一、选择题（共21题）
1.（安徽卷）将函数
的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A．
B．
C．
D．
解：将函数的图象按向量
平移，平移后的图象所对应的解析式为
，由图象知，
，所以
，因此选C。
2.（安徽卷）设
，对于函数
，下列结论正确的是
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
解：令
，则函数的值域为函数
的值域，又，所以是一个减函减，故选B。
3.（北京卷）函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=
对称
解：函数y=1+cos是偶函数，故选B
4.（福建卷）已知
∈(,
)，sin=
,则tan(
)等于
A.
B.7
C.－ D.－7
解：由
则
，
=
，选A.
5.（福建卷）已知函数f(x)=2sin
x(>0)在区间[
,
]上的最小值是－2，则的最小值等于
A.
B.
C.2
D.3
解：函数
在区间
上的最小值是
，则ωx的取值范围是
， ∴ 
或
，∴ 
的最小值等于，选B.
6.（湖北卷）若
的内角
满足
，则
A.
B．
C．
D．
解：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA>0，又
，故选A
7.（湖南卷）设点P是函数
的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值
，则
的最小正周期是
A．2π
B. π C. 
D.
解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.
8.（江苏卷）已知
，函数
为奇函数，则a＝
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数sinx的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题
【正确解答】解法1由题意可知，
得a=0
解法2：函数的定义域为R,又f (x)为奇函数,故其图象必过原点即f (0)=0,所以得a=0,
解法3由f (x)是奇函数图象法函数画出
的图象选A
【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.
若函数f(x)为奇函数
的图象关于原点对称.
若函数f(x)为偶函数
的图象关于y轴对称.
9（江苏卷）为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像上所有的点
（A）向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。
【正确解答】先将
的图象向左平移
个单位长度，
得到函数
的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数
的图像，选择C。
【解后反思】由函数
的图象经过变换得到函数
（1）．y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的
（2）函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
倍（纵坐标不变）
（3）函数y＝sin(x＋
)，x∈R(其中
≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来。
10.（江西卷）函数
的最小正周期为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解：T＝
，故选B
11.（辽宁卷）已知函数
,则
的值域是
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
【解析】
即等价于
，故选择答案C。
【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。
12.（辽宁卷）函数
的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解：
，选D
13.（全国卷I）函数
的单调增区间为
A．
B．
C．
D．
解：函数的单调增区间满足
，
∴ 单调增区间为，选C.
14.（全国II）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是
（A）2π （B）4π （C） （D）
解析: 
所以最小正周期为
,故选D
考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易.
15.（全国II）若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝
（A）3－cos2x （B）3－sin2x （C）3＋cos2x （D）3＋sin2x
解析:
所以
,因此
故选C
本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般
16.(陕西卷)"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：若等式sin(α+γ)=sin2β成立，则α+γ=kπ+(－1)k·2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件。选A．
17.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：从图象看出，
T=
，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=
向左平移了
个单位，即
=
，选D.
18.（天津卷）已知函数
（
、
为常数，
，
）在
处取得最小值，则函数
是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点
对称 B．偶函数且它的图象关于点
对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称
解析：函数
、为常数,
，∴ 
的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设
，则函数
=
，所以是奇函数且它的图象关于点
对称，选D.
19.（天津卷）设
，那么“
”是“
”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
解析：在开区间
中，函数
为单调增函数，所以设
那么
是
的充分必要条件，选C.
20.（浙江卷）函数y=
sin2+4sin
x,x
的值域是
(A)［-,］ (B)［-,］ (C)［
］ (D)［
］
【考点分析】本题考查三角函数的性质，基础题。
解析：
，故选择C。
【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为
或
的模式。
21.(重庆卷)若
，
,
，则
的值等于
（A）
（B）
（C）
（D）
解：由
，则
，
，又
，
，所以
，
解得
，所以 ＝，故选B
二、填空题（共10题）
22.（福建卷）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。
解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于.
23.（湖南卷）若
是偶函数,则有序实数对(
)可以是
.(注:只要填满足
的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).
解析．ab≠0，
是偶函数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1.
24.（湖南卷）若
是偶函数，则a= .
解析：
是偶函数，取a=－3，可得
为偶函数。
25.（江苏卷）
＝
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
【正确解答】：cot20°cos10°＋
sin10°tan70°－2cos40°
＝
＝
＝
＝
＝2
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
26.（全国卷I）设函数
。若
是奇函数，则
__________。
解析：
，则=
为奇函数，∴ φ=.
27.(陕西卷)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=
=－．
28.(上海卷)如果
＝
，且
是第四象限的角，那么
＝ 解：已知
；
29.(上海卷)函数
的最小正周期是_________。
解：函数=sin2x，它的最小正周期是π。
30.(重庆卷)已知
，sin(
)=－
sin
则cos
=________.
解： 
，
，
，∴ 
，
，
则
=
=
31.(重庆卷)已知
，
，则
。
解：由，Þcosa＝－
，所以－2
三、解答题（共16题）
32.（安徽卷）已知
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值。
解：(Ⅰ)由
得
，即
，又
，所以
为所求。
（Ⅱ）=
=
=
=
。
33.（安徽卷）已知
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值。
解：(Ⅰ)由，得
，所以＝
。
（Ⅱ）∵
，∴
。
34.（北京卷）已知函数
，
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第四象限的角，且
，求
的值.
解：（1）依题意，有cosx¹0，解得x¹kp＋
，
即的定义域为｛xxÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝
（2）＝－2sinx＋2cosx\＝－2sina＋2cosa
由是第四象限的角，且可得sina＝－
，cosa＝
\＝－2sina＋2cosa＝
35.（北京卷）已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan=
，求f()的值.
解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z),
故f(x)的定义域为｛xx≠kπ+,k∈Z｝.
(Ⅱ)因为tanα=,且α是第四象限的角, 所以sinα=
,cosα=,
故f(α)=
=
=
=
.
36.（福建卷）已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,x
R.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
解：（I）
的最小正周期
由题意得
即 
的单调增区间为
（II）方法一： 先把
图象上所有点向左平移
个单位长度，得到
的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到
的图象。
方法二：把图象上所有的点按向量
平移，就得到的图象。
37.（广东卷）已知函数
.
(I)求
的最小正周期；
(II)求的的最大值和最小值；
(III)若
，求
的值.
解：
（Ⅰ）的最小正周期为
;
（Ⅱ）的最大值为
和最小值
；
（Ⅲ）因为
，即
,即 
38.（湖南卷）已知
求θ的值.
解析： 由已知条件得
.
即
.
解得
.
由0＜θ＜π知
，从而
.
39.（辽宁卷）已知函数
，
.求:
(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量
的集合；
(II) 函数的单调增区间.
【解析】(I) 解法一:
当
,即
时, 取得最大值
.
函数的取得最大值的自变量的集合为
.
解法二:
当,即时, 取得最大值.
函数的取得最大值的自变量的集合为.
(II)解: 
由题意得: 
即: 
因此函数的单调增区间为
.
【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.
40.（山东卷）已知函数f(x)=A
(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
解：（I）
的最大值为2，
.
又
其图象相邻两对称轴间的距离为2，
，
.
过
点，
又
.
（II）解法一：
，
.
又的周期为4，
，
解法二：
又
的周期为4，，
41(陕西卷)已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1
= 2sin(2x－) +1
∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈Rx= kπ+ ， (k∈Z)}．
42.(上海卷)求函数
＝2
＋
的值域和最小正周期．
[解] 
∴ 函数的值域是
,最小正周期是
；
43.(上海卷)已知是第一象限的角，且
，求
的值。
解：
=
由已知可得sin
,
∴原式=
.
44. （天津卷）已知
，
．求
和
的值．
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。
解法一：由
得
则
因为
所以
解法二：由得 
解得
或
由已知故舍去
得 
因此，
那么 
且
故
45.（浙江卷）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤)
的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。
解：（I）因为函数图像过点
，所以
即
因为
，所以
.
（II）由函数
及其图像，得
所以
从而
，
故
.
46.(重庆卷)设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,a
R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为
.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间
上的最小值为，求a的值.
47.（上海春）已知函数
.
（1）若
，求函数的值； （2）求函数的值域.
19. 解：（1）
，
……2分
……4分
.
……8分
（2）
，
……10分
， 
， 
，
函数的值域为
.
……14分