第一学期高三年级数学学科学习能力诊断卷
(考试时间120分，满分120分)
(第一部分、文理合卷)
一、填空题：(本小题满分40分，每小题4分)
1．
函数
的递减区间是_____________
2．若集合
，则
=______________
3．函数
的最小正周期是_____________
4．复数
=______________ (
是虚数单位)
5．设
是数列
的前n项和，若
，则
=______________
6．函数
的图象如图所示，
则函数的解析式是_____________
7．若抛物线
的焦点与椭圆
的
右焦点重合，则
的值是____________
8．
=________________ 。(
是自然数)
9．已知
的三个内角
成等差数列，且
，则边
上的中线
的长为_____________
10．函数
的反函数是_________________
二、选择题：(本题满分12分，每小题4分)
11．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生…………………………………………………………………………………( )
(A) 30人，30人，30人 (B) 30人，45人，15人
(C) 20人，30人，10人 (D) 30人，50人，10人
12．设
是上的任意函数，则下列叙述正确的是…………………………………( )
(A) 
是奇函数 (B) 
是奇函数
(C) 
是偶函数
(D) 
是偶函数
13．从圆
外一点向
这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值是……………………………………………………………………………………( )
(A) 
(B)
(C) 
(D)
三、解答题：
14．(本题满分12分)
解不等式组：
15．(本题满分12分)
已知
，
(1)
求
的值；(6分)
(2) 求
的值。(6分)
16。(本题满分14分)
在等差数列中，前项和满足
(1) 求数列的通项公式；(7分)
(2) 记
，求
。(7分)
17。(本题满分14分)
统计表明，某种型号的大型卡车在匀速行驶中每小时的耗油量
(升)关于行驶速度
(千米/小时)的函数解析式可以表示为：
，已知甲、乙两地相距100千米。
(1) 当卡车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地在耗油多少升？(7分)
(2) 当卡车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？(7分)
(第二部分、文理分叉)
四、理科做，文科不做(其中18~20题各4分)
18。设
是某三角形的最大内角，且满足
，则满足上述条件的的可能值有( )
(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个
19。已知椭圆
的长轴端点为
，将线段
分成10份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于
九个点，F是椭圆的一个端点，则
=___________________
20。对于函数，在使
成立的所有常数
中，我们把的最大值
叫做函数的下确界。设有函数
试问：该函数是否有下确界，若有，求出的值，若没有，就填写没有____________。
21。(本题满分16分)
已知两定点
，曲线
上的动点
满足条件
，且直线
与曲线相切。
(1)求曲线的方程；(5分)
(2)若直线
与曲线交于两点，且
，求
的值；(5分)
(3)设
为坐标原点，过(2)中的点及点作平行四边形
，设为线段
与曲线
的交点，求
的面积
。
22。(本题满分18分)
已知函数
(1) 求函数的定义域和值域；(5分)
(2) 设
(
为实数)，求
的最大值
；(8分)
(3) 若
对所有的实数及
恒成立，求实数
的取值范围。(5分)
五、文科做，理科不做(其中18~20题各4分)
18。
的值( )
(A) 小于0 (B) 大于0 (C) 等于0 (D)不存在
19。设直线
的倾斜角为，则它关于直线
对称的直线的倾斜角是__________(用表示)
20。函数
的最大值为________________
21。(本题满分16分)
已知与曲线
相切的直线
交于
轴于两点，
为原点，
(1) 求证：
(6分)
(2) 求线段AB中点的轨迹方程；(5分)
(3) 求
面积的最小值。(5分)
22。(本题满分18分)
已知二次函数
的对称轴为
，且方程
有两个相等的实数根。
(1) 求的解析式；(8分)
(2) 求在[1, 3]上的值域；(4分)
(3) 是否存在实数
，使的定义域为
，值域为
？若存在，求出的值 (只要求出一个值即可) ，若不存在，请说明理由。(6分)