高考数学普通高等学校春季招生考试10
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第1卷1至2页．第Ⅱ卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（择题共50分）
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考入将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c'，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
球体的体积公式
其中R表示球的半径
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）在函数y=sin2x，y=sinx，y=cosx，
中，最小正周期为p的函数是
（A） y=sin2x （B） y=sinx （C） y=cosx
（D）
（2）当
时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）双曲线
的渐近线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为
（A） 30° （B）45° （C） 60° （D）75°
（5）在极坐标系中，圆心在（
，p）且过极点的圆的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知sin(q+p)<0，cos(q－p)>0，则下列不等关系中必定成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，
（其中a，b，c，d均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（8）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体．在这些新长方体中，最长的对角线的长度是
（A）
cm （B）
cm （C）
cm （D）
cm
（9）在100件产品中有6件次品．现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M．如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为
（A）
（B）1 （C）
（D）2
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（11）若f－1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f－1(x)的值域是 ．
（12）
值为 ．
（13）据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为 吨，2008年的垃圾量为 吨．
（14）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m，n满足的关系式为 ；以(m，n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆
的公共点有 个．
三．解答题：本大题共6小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
当0<a<1时，解关于x的不等式
．
（16）（本小题满分13分）
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长．已知a，b，c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及
的值．
（17）（本小题满分15分）
如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，
．
（Ⅰ）求证BC⊥SC；
（Ⅱ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（Ⅲ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．
（18）（本小题满分15分）
已知点A(2，8)，B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）求线段BC中点M的坐标；
（Ⅲ）求BC所在直线的方程．
（19）（本小题满分14分）
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（Ⅱ）设—次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；
（Ⅲ）当销售商—次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出—个零件的利润=实际出厂单价－成本）
（20）（本小题满分14分）
下表给出一个“等差数阵”：
| 4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a1j | … |
| 7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a2j | … |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a3j | … |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a4j | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| ai1 | ai2 | ai3 | ai4 | ai5 | … | aij | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
（Ⅰ）写出a45的值；
（Ⅱ）写出aij的计算公式；
（Ⅲ）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．
高考数学普通高等学校春季招生考试10
参考解答
一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分．
（1）A （2）D （3）A （4）C （5）B
（6）B （7）D （8）C （9）C （10）B
二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（11）（－1，－∞）
（12）1
（13）a(1+b) a(1+b)5
（14）0<m2+n2<3 2
三．解答题：本大题共6小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力．满分13分．
解：由0<a<1，原不等式可化为
这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集：
①
或
②
解不等式组①得解集
解不等式组②得解集
所以原不等式的解集为
（16）本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题 的能力．满分13分．
解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac．
又a2－c2=ac－bc，
∴b2+c2－a2=bc．
在△ABC中，由余弦定理得
∴∠A=60°．
（Ⅱ）解法一：在△ABC中，由正弦定理得
∵b2=ac，∠A=60°，
∴
解法二：在△ABC中，由面积公式得
∵b2=ac，∠A=60°，
bcsinA=b2sinB，
（17）本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分15分．
（Ⅰ）证法一：如图1，
∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，
∴DC是SC在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得BC⊥SC．
证法二：如图1，
∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥SC．
（Ⅱ）解法一：
∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
可以把四棱锥S－ABCD补形为长方体A1B1C1S－ABCD，如图2．
而ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A1S，
∴SC⊥A1S，
又SD⊥ A1S，
∴∠CSD为所求二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由勾股定理得
在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1．
∴∠CSD=45°．
即面ASD与面BSC所成的二面角为45°．
解法二：如图3，
过点S作直线l//AD，
∴l在面ASD上，
∵底面ABCD为正方形，
∴l//AD//BC，
∴l在面BSC上，
∴l为面ASD与面BSC的交线．
∵SD⊥AD，BC⊥SC，
∴l⊥SD，l⊥SC，
∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角．
（以下同解法一）
（Ⅲ）解法一：如图3，
∵SD=AD=1，∠SDA=90°，
∴△SDA是等腰直角三角形．
又M是斜边SA的中点，
∴DM⊥SA．
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，
∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．
由三垂线定理得DM⊥SB．
∴异面直线DM与SB所成的角为90°．
解法二：如图4，
取AB中点P，连结MP，DP．
在△ABS中，由中位线定理得
MP//SB，
∴∠DMP是异面直线DM与SB所成的角．
∵
又
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，
∴∠DMP=90°．
∴异面直线DM与SB所成的角为90°．
（18）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．满分15分．
解：（Ⅰ）由点A(2 , 8)在抛物线y2=2px上，有82=2p·2，
解得p=16．
所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为(8 , 0)．
（Ⅱ）如图，由于F(8,0)是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且
设点M的坐标为（x0，y0），则
解得x0=11，y0=－4，
所以点M的坐标为（11，－4）．
（Ⅲ）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．设BC所在直线的方程为y+4=k(x－1)(k≠0)．
由
消x得ky2－32y－32(11k+4)=0，所以
由（Ⅱ）的结论得
，解得k=－4．因此BC所在直线的方程为y+4=－4(x－11)，即4x+y－40=0．
（19）本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分15分.
解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
（Ⅱ）当
时，
当100<x<550时，
；
当
时，P=51．
所以 
（Ⅱ）设销售的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
（
）
当x＝500时，L＝6000；当x=1000时，L=11000.
因此，当销售商一次订购了500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．
（20）本小题主要考查等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.
解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ） 该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
；
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
；
……
第i行是首项为
，公差
的等差数列，因此，
=i(2j+1)+j
（Ⅲ）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
，
从而
.
即正整数2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N＋1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
,
从而
，
可见N在该等差数阵中.
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积。