高考数学普通高等学校招生全国统一考试
数 学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）在同一坐标系中,表示直线y＝ax与y＝x＋a,正确的是
（2）已知
，则tg 2x＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）圆锥曲线
的准线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）等差数列｛an｝中，已知
，则n为
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
（5）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1M F2＝120°，则双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设函数
若f(x0)>1，则x0的取值范围是
（A）（－1，1） （B）（－1，＋∞）
（C）（－∞，－2）∪（0，＋∞） （D）（－∞，－1）∪（1，＋∞）
（7）函数
的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）2
（8）已知圆
及直线
．当直线l被C截得的弦长为
时，则a＝
（A）
（B）
（C） （D）
（9）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）函数f (x)＝sinx，
的反函数f－1(x)＝
（A）－arcsinx，x∈[－1，1] （B）―π―arcsinx，x∈[－1，1]
（C）π＋arcsinx，x∈[－1，1] （D）π－arcsinx，x∈[－1，1]
（11）已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为(x4，0)．若1< x4<2，则tgθ的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3π （B）4π
（C）
（D）6π
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）不等式
的解集是
．
（14）
展开式中x9的系数是
．
（15）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”．
（16）如图,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种．（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，A A1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线;
（Ⅱ）求点D1到面BDE的距离．
（18）（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且 z－1 是 z 和 z－2 的等比中项，求 z ．
（19）（本小题满分12分）
已知a>0，a≠1,设
P：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减．
Q：曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1 与轴交于不同两点．
如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
（21）（本小题满分14分）
已知常数a > 0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图）．问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由．
（22）（新课程）（本小题满分14分）
设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1（n∈N+）．
（Ⅰ）证明对任意n≥1，
；
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围．
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数学参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1）C （2）D （3）C （4）C （5）B （6）D
（7）A （8）C （9）B （10）D （11）C （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
（13）
（14）
（15）
（16）72
三、解答题：
（17）本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．满分12分．
（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=
D1D．
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF⊥CC1，又CM⊥面DBD1，
∴EF⊥面DBD1，∵BD1
面DBD1，
∴EF⊥BD1，
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（II）解：连结ED1，有
由（I）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBE·d=S△DED
·EF．
∵AA1=2，AB=1．
．
∴ 
故点D1到平面BDE的距离为
．
（18）本小题主要考查复数模、辐角和等比中项的概念，考查运算能力，满分12分．
解：设z =
．
由题设
即
，
∴ 
整理得
．
解得
（舍去）．
即 z =．
（19）本小题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基础知识，考查分析和判断能力，满分12分．
解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在 (0，＋∞)内单调递减，
当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在 (0，＋∞)内不是单调递减；
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1 与轴交于不同两点等价于(2a－3)2－4＞0，
即
或
﹒
情形(ⅰ)如果P正确，且Q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1 与轴不交于两点．因此
即
﹒
情形(ⅱ)如果P不正确，且Q正确，即函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1 与轴交于两点．因此
即
﹒
综上a的取值范围为
（20）本小题主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根据所给条件选择适当坐标系和圆的方程等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题能力，满分12分．
解法一：设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60 (km)．
若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则
OQ≤10t＋60．
由余弦定理知
由于 PO＝300，PQ＝20t，
cos∠OPQ＝cos(θ－45°)
＝cosθcos45°＋sinθsin45°
故 
因此 202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，
即 t2－36t＋288≤0，
解得 12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．
解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向，在时刻t(h)台风中心
的坐标为
此时台风侵袭的区城是
其中r(t)＝10t+60．
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即 
≤(10t＋60)2，
即 t 2－36t＋288≤0，
解得 12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．
（21）本小题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分．
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)．
设
由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2， 4a－4ak)．
直线OF的方程为：2ax＋(2k－1)y＝0， ①
直线GE的方程为：－a (2k－1) x＋y－2a＝0． ②
从①、②消去参数k，得点P(x，y)坐标满足方程2a2x2＋y2－2ay＝0．
整理得
当
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．
当
时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长．
当
时，点P的椭圆两个焦点
的距离之和为定值
当
时，点P的椭圆两个焦点
的距离之和为定值2a．
（22）本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分．
（Ⅰ）证法一：（ⅰ）当n＝1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ⅱ）假设当n＝k（k≥1）等式成立，即
，
那么 
，
也就是说，当n＝k+1时，等式也成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ），可知等式对任何n∈N+成立．
证法二：如果设an－a3n=－2(an－1－a3n－1)，
用
代入，可解出
．
所以
是公比为－2，首项为
的等比数列．
∴ 
（n∈N+），
即 
．
（Ⅱ）解法一：由an通项公式
，
∴ an>an－1（n∈N+）等价于
（n∈N+）．
①
（ⅰ）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为 
．
②
②式对k＝1，2，…都成立，有
．
（ⅱ）当n＝2k，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为 
．
③式对k＝1，2，…都成立，有
．
②
综上，①式对任意n∈N+成立，有
．
故a0的取值范围为（0，
）．
解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特别取n＝1，2有
a1－a0=1－3a0>0，
a2－a1=6a0>0，
因此 ．
下面证明当时，对任意n∈N+，有an－an－1>0．
由an通项公式
．
（ⅰ）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，
＝0．
（ⅱ）当n＝2k，k＝1，2，…时，
≥0．
故a0的取值范围为（0，）．