高考数学普通高等学校招生全国统一考试2
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）如果函数
的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为
（2）抛物线
的准线方程是y=2，则a的值为
（A）
（B）－ （C）8 （D）－8
（3）已知
（A）
（B）－ （C）
（D）－
（4）设函数
则x0的取值范围是
（A）（－1，1） （B）（－1，+∞）
（C）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D）（－∞，－1）∪（1，+∞）
（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
（6）函数
的反函数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设
曲线
在点
处切线的倾斜角的取值范围为
，则P到曲线对称轴距离的取值范围为
（A）[
] （B）
（C）
（D）
（9）已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则 m－n=
（A）1 （B）
（C）
（D）
（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3π （B）4π （C）
π （D）6π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.
（13）
展开式中x9的系数是
.
（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
， ， 辆.
（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有
种.（以数字作答）
（16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）
（18）（本小题满分12分）
已知函数
上R上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，求
和ω的值.
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知常数
，向量
经过原点O以
为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以
为方向向量的直线相交于点P，其中
试问：是否存在两个定点E、F，使得PE+PF为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知
为正整数.
（Ⅰ）设
；
（Ⅱ）设
（22）（本小题满分14分）
设
如图，已知直线
及曲线C：
，C上的点Q1的横坐标为
（
）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点
，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求
的关系，并求
的通项公式；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）当a=1时，证明
普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B （6）B （7）C （8）B （9）C
（10）D （11）C （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
（13）
（14）6,30,10 （15）120 （16）①④
三、解答题
（17）本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.
解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（Ⅰ）
，
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
答：恰有一件不合格的概率为0.176.
解法一：至少有两件不合格的概率为
解法二：三件产品都合格的概率为
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合的概率为0.012.
（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
解：由f（x）是偶函数，得f（－x）＝ f（x），
即
所以
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ＝0﹒
依题设，0≤ω≤π，所以解得
﹒
由f（x）图象关于点M对称，得
，
取x＝0，得
,所以
= 0﹒
∵
∴ 
＝0，又ω＞0，得
∴
当k＝0时，
，
在区间上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，在区间上是减函数；
当k≥0时，
，
在区间上不是单调函数；
所以综合得或ω＝2﹒
（19）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力. 满分12分.
解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连结EF、FC，
∵ D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴ CDEF为矩形．
连结DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF．
在直角三角形EFD中，
，
∵ EF＝1，∴
……4分
于是
∵ 
∴ 
∴ 
∴ 
即A1到平面AED的距离为
解法二： （Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，
则 A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），A1（2a，0，2），E（a，a，1），
．
∴ 
，
．
∴ 
，解得 a＝1．
∴ 
，
．
∴ 
．
A1B与平面ABD所成角是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）．
，
，
∴ ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，
∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED
面AA1E＝AE，
∴ 点A1在平面AED的射影K在AE上．
设 
，
则 
．
由 
，即l+l+l－2＝0，
解得 
．
∴ 
．
∴ 
．
故A1到平面AED的距离为
．
（20）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分．
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
∵ i＝（1，0），c＝（0，a），
∴ c+li=（l，a），i－2lc=（1，－2la）．
因此，直线OP和AP的方程为
ly=ax 和 y－a＝－2lax．
消去参数l，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y－a）=－2a2x2，
整理得 
．
①
因为a>0，所以得：
（ⅰ）当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ⅱ）当
时，方程①表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点：
（ⅲ）当
时，方程①也表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点．
（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.
证明：（Ⅰ）因为
，
所以
（Ⅱ）对函数
求导数：
，所以
﹒
当x≥a＞0时，
＞0，
当x≥a时，是关于x的增函数﹒
因此，当n≥a时，
∴
即对任意
（22）本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
（Ⅰ）解：∵
∴
∴
，
∴
（Ⅱ）证明：由a=1知
∵
∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，
因此
= 