高考数学普通高等学校招生全国统一考试4
数 学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）函数
关于原点对称的曲线为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知
，
，则tan 2x＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则
＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设函数
若f（x0）>1，则x0的取值范围是
（A）（－1，1） （B）（－1，＋∞）
（C）（－∞，－2）
（0，＋∞） （D）（－∞，－1）（1，＋∞）
（6）
等差数列｛an｝中，已知
，则n为
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
（7）函数
，x∈（1，+∞）的反函数为
（A）
，x∈（1，+∞） （B）
，x∈（1，+∞）
（C）
，x∈（－∞，0） （D），x∈（－∞，0）
（8）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）
设a>0，f（x）＝ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为
，则P到曲线y＝f（x）对称轴距离的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）
已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射CD、DA到AB和上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为（x4，0）．若1< x4<2，则tgθ的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3p （B）4p （C）
（D）6π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）
展开式中x9的系数是
．
（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，_______，_________辆．
（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）
（16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线;
（Ⅱ）求点D1到BDE面的距离．
（18）（本小题满分12分）
已知函数
上R上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，求
和ω的值.
（19）（本小题满分12分）
设a>0，求函数
（x∈（0，+∞））的单调区间．
（20）（本小题满分12分）
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
| 对阵对员 | A队队员胜的概率 | A队队员负的概率 |
| A1对B1 |
|
|
| A2对B2 |
|
|
| A3对B3 |
|
|
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为x、h．
（Ⅰ）求x、h的概率分布；
（Ⅱ）求Ex、Eh．
（21）（本小题满分14分）
设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1（n∈N+）．
（Ⅰ）证明对任意n≥1，
；
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围．
（22）（本小题满分12分）
已知常数a>0，向量c=（0，a），i＝（1，0）．经过原点O以c+li为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2lc为方向向量的直线相交于点P，其中l∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得 PE + PF 为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
（1）A （2）D （3）B （4）A （5）D （6）C
（7）B （8）C （9）B （10）D （11）C （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
（13）
（14）6，30，10 （15）120
（16）①④
三、解答题：
（17）本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．满分12分．
（I）证法一：取BD中点M，连结MC，FM，
∵ F为BD1中点，
∴ FM∥D1D且FM=
D1D．
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴ 四边形EFMC是矩形，
∴ EF⊥CC1，
又CM⊥面DBD1，
∴ EF⊥面DBD1，
∵ BD1
面DBD1，
∴ EF⊥BD1，
故EF为BD1与CC1的公垂线﹒
证法二：建立如图的坐标系，得
B（0，1，0），D1（1，0，2），
，C1（0，0，2），E（0，0，1）．
∴ 
，
．
∴ 
，
即 EF⊥CC1，EF⊥BD1．
故 EF是CC1与BD1的公垂线．
（II）解：连结ED1，有
由（I）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBE·d=S△DED
·EF．
∵ AA1=2，AB=1．
．
∴ 
故点D1到平面BDE的距离为
．
（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
解：由f（x）是偶函数，得f（－x）＝ f（x），
即
所以
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ＝0﹒
依题设，0≤ω≤π，所以解得
﹒
由f（x）图象关于点M对称，得
，
取x＝0，得
,所以
= 0﹒
∵
∴ 
＝0，又ω＞0，得
∴
当k＝0时，
，
在区间上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，在区间上是减函数；
当k≥0时，
，
在区间上不是单调函数；
所以综合得或ω＝2﹒
（19）本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．满分12分．
解：
．
当a>0，x>0时
f ¢（x）>0Ûx2+（2a－4）x+a2＞0，
f ¢（x）<0Ûx2+（2a－4）x+a2＜0．
（ⅰ）当a > 1时，对所有x ＞ 0，有
x2+（2a－4）x+a2＞0，
即f ¢（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增．
（ⅱ）当a＝1时，对x≠1，有
x2+（2a－4）x+a2>0，
即f ¢（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增．
又知函数f（x）在x＝1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增．
（ⅲ）当0<a<1时，令f ¢（x）>0，即x2+（2a－4）x+a2＞0，
解得
，或
．
因此，函数f（x）在区间
内单调递增，在区间
内也单调递增．
令f ¢（x）＜0，即x2+（2a－4）x+a2 ＜ 0，
解得 
．
因此，函数f（x）在区间
内单调递减．
（20）本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）x，h的可能取值分别为3，2，1，0．
，
，
，
；
根据题意知x+h=3，所以
，
，
，
．
（Ⅱ）
；
因为 x +h＝3，
所以 
．
（21）本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分．
（Ⅰ）证法一：（ⅰ）当n＝1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ⅱ）假设当n＝k（k≥1）等式成立，即
，
那么 
，
也就是说，当n＝k+1时，等式也成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ），可知等式对任何n∈N+成立．
证法二：如果设an－a3n=－2（an－1－a3n－1），
用
代入，可解出
．
所以
是公比为－2，首项为
的等比数列．
∴ 
（n∈N+），
即 
．
（Ⅱ）解法一：由an通项公式
，
∴ an>an－1（n∈N+）等价于
（n∈N+）．
①
（ⅰ）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为 
．
②
②式对k＝1，2，…都成立，有
．
（ⅱ）当n＝2k，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为 
．
③
③式对k＝1，2，…都成立，有
．
综上，①式对任意n∈N+成立，有
．
故a0的取值范围为（0，
）．
解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特别取n＝1，2有
a1－a0=1－3a0>0，
a2－a1=6a0>0，
因此 ．
下面证明当时，对任意n∈N+，有an－an－1>0．
由an通项公式
．
（ⅰ）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，
＝0．
（ⅱ）当n＝2k，k＝1，2，…时，
≥0．
故a0的取值范围为（0，）．
（22）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分．
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
∵ i＝（1，0），c＝（0，a），
∴ c+li=（l，a），i－2lc=（1，－2la）．
因此，直线OP和AP的方程为
ly=ax 和 y－a＝－2lax．
消去参数l，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y－a）=－2a2x2，
整理得 
．
①
因为a>0，所以得：
（ⅰ）当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ⅱ）当
时，方程①表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点：
（ⅲ）当
时，方程①也表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点．