高考数学普通高等学校招生全国统一考试6
数 学（文史类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
3．华东师大二附中、大同中学、格致中学考生请注意试卷最后的符号说明．
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
（1）函数
的最小正周期T=
.
（2）若
是方程2cos（x＋a）＝1的解，其中a∈（0，2p），则a＝
.
（3）在等差数列｛an｝中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ .
（4）已知定点A（0，1），点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是
.
（5）在正四棱锥P－ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）
（6）设集合A={x x<4}，B={x
x2－4x＋3<4}，则集合{x x∈A且x A∩B }=
.
（7）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则∠ABC= .（结果用反三解函数值表示）
（8）若首项为a1，公比为q的等比数列｛an｝的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= .
（9）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）
（10）方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1）
（11）已知点
，
，
，其中n为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则
＝ .
（12）给出问题：是F1、F2双曲线
的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点的F2距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴上为8，由PF1－ PF2＝8，即9－ PF2＝8，得 PF2＝1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内;或不正确，将正确结果填在下面空格内.
.
二、选择题（本在题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
（13）下列函数中，既为偶函数又在（0，p）上单调递增的是
（A）y=tgx. （B）y＝cos（－x）.
（C）
（D）
（14）在下列条件中，可判断平面a与b平行的是
（A）a、b都垂直于平面g.
（B）a内存在不共线的三点到b的距离相等.
（C）l，m是a内两条直线，且l∥b, m∥b.
（D）是两条异面直线，且l∥a, m∥a, l∥b, m∥b.
（15）在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和
四点中，函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点
（A）P. （B）Q. （C）M. （D）N.
（16）f（x）是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示.令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是
（A）若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称.
（B）若a＝1，0<b<2，则方程g（x）=0有大于2的实根.
（C）若a＝－2，b＝0，则函数g（x）的图象关于y轴对称.
（D）若a≠1， b＝2，则方程g（x）=0有三个实根.
三、解答题（本大题满分86分）本大题共6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
（17）（本题满分12分）
已知复数z1=cosq－i，z2=sinq＋i，求z1·z2的最大值和最小值.
（18）（本题满分12分）
已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB＝4，AD＝2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积.
（19）（本题满分14分）
已知函数
，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
（20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某隧道设计为以双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个随圆的形状．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为
，柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）
（21）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点，已知AB=2OA，且点B的纵坐标大于零．
（1）求向量
的坐标;
（2）求圆x2－6x+y2+2y＝0关于直线OB对称的圆的方程;
（3）是否存在实数a，使抛物线y＝ax2－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由;若存在，求a的取值范围．
（22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列．
（1）求和：
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明;
（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：
| 符号意义 | 本试卷所有符号 | 等同于《实验教材》符号 |
| 正切、余切 | tg、ctg | tan、cot |
普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案（文史类）
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一、（第1题到第12题）
（1）p （2）
（3）－49 （4）
（5）arctg2 （6）[1，3] （7）
（8）
（a1>0，0<q<1的一组数）
（9）
（10）2.6 （11）4p （12）PF2=17
二、（第13题至第16题）
（13）C （14）D （15）D （16）B
三、（第17题至第22题）
（17）[解] z1·z2 = 1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i
故z1·z2的最大值为
，最小值为
．
（18）[解]连结BC，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD．
在△BCD中，BC=2，CD=4，
所以
又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B1DB＝30°，于是
故平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为
（19）[解] x须满足
，由
得－1<x<1，
所以函数f （x）的定义域为（－1，0）∪（0，1）．
因为函数f （x）的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
所以f （x）是奇函数．
研究f （x）在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1< x2，则
由
得f （x1）－f （x2）>0，即f （x）在（0，1）内单调递减，
由于f （x）是奇函数，所以f （x）在（－1，0）内单调递减．
（20）[解]（1）如图建立直角坐标系，则点p（11，4.5），
椭圆方程为
将b=h＝6与点p坐标代入椭圆方程，得
，此时
因此隧道的拱宽约为33.3米．
（2）由椭圆方程
得 
因为
即ab≥99，且l＝2a，h＝b，
所以
当S取最小值时，有，得
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米，土方工程量最小．
[解二]由椭圆方程得
于是
即ab≥99，当S取最小值时，有
得以下同解一．
（21）[解]（1）设
，则由
即
得
或
因为
所以 v－3>0，得 v＝8，故 
（2）由
得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：（x－3）2＋（y＋1）2＝10，
得圆心（3，－1），半径为
设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x，y），则
得
故所求圆的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则
得
即x1、x2为方程
的两个相异实根，
于是由
得
故当
时，抛物线y =ax2－1上总有关于直线OB对称的两点．
（22）[解]（1）
（2）归纳概括的结论为：
若数列｛an｝是首项为a1，公比为q的等比数列，则
，n为整数．
证明：
（3）因为
所以
