高考数学普通高等学校招生全国统一考试8
数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）不等式
的解集是
（A）（0，2） （B）（2，+∞）
（C）
（D）（－∞，0）
（2，+∞）
（2）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为
（A）
（B）
（C）8 （D）－8
（3）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知
，
，则tan 2x＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）等差数列 an 中，已知
，则n为
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
（6）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1M F2＝120°，则双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设函数
若f(x0)>1，则x0的取值范围是
（A）（－1，1） （B）（－1，＋∞）
（C）（－∞，－2）（0，＋∞） （D）（－∞，－1）（1，＋∞）
（8）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，
，则P的轨迹一定通过△ABC的
（A）外心 （B）内心
（C）重心 （D）垂心
（9）函数
，x∈(1，+∞)的反函数为
（A）
，x∈(1，+∞) （B）
，x∈(0，+∞)
（C）
，x∈(－∞，0) （D），x∈(－∞，0)
（10）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为q 的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4与P0重合，则tanq ＝
（A）
（B）
（C）
（D）1
（12）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3p （B）4p （C）
（D）6p
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）
展开式中x9的系数是
．
（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，_______，_________辆．
（15）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则
AB2＋AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则
”．
（16）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有__________________种．（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线;
（Ⅱ）求点D1到BDE面的距离．
（18）（本小题满分12分）
已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=－x2+a．如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
（19）（本小题满分12分）
已知数列
足 
（I）求
；
（II）证明
（20）（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．
（I）求恰有一件不合格的概率；
（II）求至少有两件不合格的概率．
（精确到0.001）
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=sin(w x+j)（w ＞0，0≤j≤p）是R上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，求j 和w 的值．
（22）（本小题满分12分）
已知常数a>0，向量c = (0，a)，i＝(1，0)．经过原点O以c+l i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2lc为方向向量的直线相交于点P，其中l∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得 PE + PF 为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
（1）C （2）B （3）B （4）D （5）C （6）B
（7）D （8）B （9）B （10）C （11）C （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
（13）
（14）6，30，10 （15）
（16）42
三、解答题：
（17）本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．满分12分．
（I）证法一：取BD中点M，连结MC，FM，
∵ F为BD1中点，
∴ FM∥D1D且FM=
D1D．
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴ 四边形EFMC是矩形，
∴ EF⊥CC1，
又CM⊥面DBD1，
∴ EF⊥面DBD1，
∵ BD1
面DBD1，
∴ EF⊥BD1，
故EF为BD1与CC1的公垂线﹒
证法二：建立如图的坐标系，得
B(0，1，0)，D1(1，0，2)，
，C1(0，0，2)，E(0，0，1)．
∴ 
，
．
∴ 
，
即 EF⊥CC1，EF⊥BD1．
故 EF是CC1与BD1的公垂线．
（II）解：连结ED1，有
由（I）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBE·d=S△DED
·EF．
∵ AA1=2，AB=1．
．
∴ 
故点D1到平面BDE的距离为
．
（18）本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分．
（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y¢＝2x+2
曲线C1在点
的切线方程是
，
即 
． ①
函数y＝－x2+a的导数y¢＝－2x，
曲线C2在点
的切线方程是
，
即 
．
②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程．
所以 
消去x2得方程
．
若判别式△＝4－4×2(1+a)＝0时，即
时解得
，此时点P与Q重合．
即当时C1和C2有仅且有一条公切线，由①得公切线方程为
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当
时C1和C2有两条公切线．
设一条公切线上切点为
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
其中P在C1上，Q在C2上，则有
x1+x2＝－1，
=－1+a，
线段PQ的中点为
．
同理，另一条公切线段P ¢Q ¢的中点也是
所以公切线段PQ和P ¢Q ¢互相平分．
（19）本小题主要考查数列、等比数列、等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分．
（I）解∵
．
（II）证明：由已知
=
，
所以．
所以证得．
(20)本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.
解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C．
（Ⅰ）P(A)=0.90，P(B)= P(C)=0.95．
P
=0.10 , P
=P
=0.05.
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P(A·B·
)+P(A·
·C)+P(
·B·C)
=P(A)·P(B)·P()+P(A)·P()·P(C)+P()·P(B)·P(C)
=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95
=0.176
答：恰有一件不合格的概率为0.176．
（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为
P(A··)+P(·B·)+P(··C)+ P(··)
=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052
=0.012．
答：至少有两件不合格的概率为0.012．
解法二：三件产品都合格的概率为
P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)
=0.90×0.952
=0.812．
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为
1－［P(A·B·C)+0.176］
=1－(0.812+0.176)
=0.012﹒
答：至少有两件不合格的概率为0.012．
(21)本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分．
解：由f(x)是偶函数，得f(－x)= f(－x)．
即 
所以 －
对任意x都成立，且
所以得
=0．
依题设0
，所以解得
，
由f(x)的图象关于点M对称，得
．
取x=0,得
=－，所以=0．
（22）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分．
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，
∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．
因此，直线OP和AP的方程为
ly=ax 和 y－a＝－2lax．
消去参数l，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y－a)=－2a2x2，
整理得 
．
①
因为a>0，所以得：
（ⅰ）当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ⅱ）当
时，方程①表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点：
（ⅲ）当
时，方程①也表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点．