高考数学等学校招生全国统一考试36

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第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

（1）若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则　　　　

（A） {1,2,3}　　 （B） {4}　　　　（C） {1,3,4}　　 （D） {2}

（2）直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（A）　　　　 （B）　　　 （C）　　　 　　　　（D）

（3）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=　　　　　　

　　（A） –4　　　　 （B） –6　　  　 （C） –8　　　　 （D） –10

（4）已知向量且∥，则=

　　（A）　　　　　 （B）　　　 　（C）　 　　　　（D）

（5）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为　　　　　　

　　（A）（　　  　　　　　　　 （B）（　　

　　（C）（ 　　　　　　　　　 （D）（

（6）曲线y²=4x关于直线x=2对称的曲线方程是　　　　　　　　

（A）y²=8--4x　　 （B）y²=4x—8　 　（C）y²=16--4x　　（D）y²=4x—16

（7） 若展开式中存在常数项,则n的值可以是　　

　  （A） 8　　　　　  （B） 9　　　　  （C） 10　　　　  （D） 12

（8）“”“A=30º”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（A） 充分而不必要条件　　 　　　　 （B） 必要而不充分条件

　  （C） 充分必要条件　　　　　 　　　 （D） 既不充分也不必要条件

（9）若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a=　

（A）　　  　　 （B） 　　　　 （C）　　 　 （D）2

（10）如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为，则=

　　（A）

　  （B）

　  （C）

　  （D）

（11）椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被点（，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 （A）　　  　 （B）　　  （C）　　  　　 （D）

（12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（A）　 　　　　　　（B）　　

　　　（C）　　　　　　　　　　　  （D）

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上.

（13）已知则不等式≤5的解集是　　　　 .

（14）已知平面上三点A、B、C满足 则AB· BC+BC·CA+CA·AB的值等于　　　　.

（15）已知平面⊥， =，P是空间一点，且P到、的距离分别是1、2，则点P到的距离为　　　　　　　　  .

（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有　　　　 种（用数字作答）.

三. 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.　

（17）（本题满分12分）

　已知数列的前n项和为

　　　（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求证数列是等比数列.

（18）（本题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值.

（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

 AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本题满分12分）

某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.

（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；

（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.

（21）（本题满分12分）

已知a为实数，

（Ⅰ）求导数；

（Ⅱ）若，求在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.

（22）（本题满分14分）

解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.

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参考答案

一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.

（1）B  　 （2）A 　 （3） B　　（4）A　　 （5）A　　 （6）C　

（7）C 　　（8）B  　（9）D  　 （10）D 　 （11）D　　（12）B

二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分)

（13）　　（14）–4 　（15）　　　（16） 5

三.解答题

（17）解: (Ⅰ)由,得

　　　　　　 ∴

　　　　　　　 又,即,得

　　　　　　　  .

　　　　　　　 (Ⅱ)当n>1时,

　　　　　　 得所以是首项为,公比为的等比数列.　

（18）  解: (Ⅰ)

　　　　 =

　　　　=

　　　=

　　　　=

(Ⅱ) ∵

∴,

又∵

∴

当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

（19） (满分12分)

 方法一

解: (Ⅰ)设AC∩BD=0，连结OE，

　 ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE.

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(Ⅱ)∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，

∴BD⊥平面AE，又因为AM平面AE，

∴BD⊥AM.

∴AD=,AF=1,OA=1,

∴AOMF是正方形，

∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=0

∴AM⊥平面BDF.

（Ⅲ）设AM∩OF=H，过H作HG⊥DF于G，连结AG，

由三垂线定理得AG⊥DF，

∴∠AGH是二面角A—DF—B的平面角.

方法二

　 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.

　　设，连接NE，

　　则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

　　∴NE=(,

　　又点A、M的坐标分别是

　（）、（.

　∴ AM=（

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

（Ⅱ）

　　

（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF.

（20）　解: (Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,

则.

(Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,

则

因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是,

　　　所以　(12分)

（21） 解: (Ⅰ)由原式得

　　　　　 ∴

(Ⅱ)由 得,此时有.

由得或x=-1 , 又

　　所以f(x)在[--2,2]上的最大值为最小值为

　 (Ⅲ)解法一: 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得

　　

　　 即　∴--2≤a≤2.

　　 所以a的取值范围为[--2,2].

　解法二:令即 由求根公式得:

　　所以在和上非负.

　 由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,

　从而x₁≥-2,  x₂≤2,

　 即 解不等式组得: --2≤a≤2.

∴a的取值范围是[--2,2].

（22） (满分14分)

解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以

得.

∵ ∴≤≤2,

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.

∴m的取值范围是

(Ⅱ)可设双曲线方程为

由

得.

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，（不妨设P在第一象限）

直线PQ方程为.

直线AP的方程y=x-1,

∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，

所以所求双曲线方程为

即