高考数学高等学校招生全国统一考试24
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合
（A）{
} （B）{
}
（C）{
} （D） {
}
（2）
（A）
（B）1 （C）
（D）
（3）设复数
=
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知圆C与圆
关于直线
对称，则圆C的方程为 （A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知函数
的图象过点
，则
可以是 （A）
（B）
（C）
（D）
（6）函数
的图象
（A）与
的图象关于y轴对称 （B）与的图象关于坐标原点对称
（C）与
的图象关于
轴对称 （D）与的图象关于坐标原点对称
（7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为
，则
球心O到平面ABC的距离为 （A）
（B）
（C）
（D）
（8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
（9）已知平面上直线l的方向向量e=
点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是O′和A′，则
e，其中
=
（A）
（B）
（C）2 （D）－2
（10）函数
在下面哪个区间内是增函数
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）函数
的最小正周期为 （A）
（B） （C）
（D）2
（12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有
（A）56个 （B）57个 （C）58个 （D）60个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
|
（14）设
满足约束条件：
则
的最大值是 .
（15）设中心在原点的椭圆与双曲线
=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是
.
（16）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
（18）（本小题满分12分）
已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.
求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
（19）（本小题满分12分）
数列
的前n项和记为Sn，已知
证明：
（Ⅰ）数列
是等比数列；
（Ⅱ）
（20）（本小题满分12分）
|
，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
（21）（本小题满分12分）
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。
（Ⅰ）设l的斜率为1，求
与
的夹角的大小；
（Ⅱ）设
，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.
（22）（本小题满分14分）
已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(
)<(b-a)ln2.
高考数学高等学校招生全国统一考试24
一．选择题
（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D
（7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C
二．填空题
（13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）
（16）②④
三．解答题
（17）本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.
本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，
满分12分.
（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解：
，
即
，将代入上式并整理得
解得
，舍去负值得
，
设AB边上的高为CD.
则AB=AD+DB=
由AB=3，得CD=2+
. 所以AB边上的高等于2+.
（18）本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.
（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 
故有一组恰有两支弱队的概率为
解法二：有一组恰有两支弱队的概率
（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 
解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为
（19）本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力，满分12分。
证明：（Ⅰ）∵
∴ 
整理得 
所以 
故是以2为公比 的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
于是 
又 
故 
因此对于任意正整数 
都有
|
解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=
∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，
∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=
又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，
∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=
，DM=C1M.
∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.
因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.
∴FG=，FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形.
于是B1G⊥BD，B1G=
∴∠B1GF是所求二面角的平面角，
又 B1F2=B1B2+BF2=1+（
=
，
∴ 
|
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），
D（
，M（
，1，0），
则
∴CD⊥A1B，CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则
G（
），
、、），
所以所求的二面角等于
（21）本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分12分。
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将
代入方程
，并整理得 
设
则有 
所以
夹角的大小为
（Ⅱ）由题设
得 
|
由②得
， ∵ 
∴
③
联立①、③解得
，依题意有
∴
又F（1，0），得直线l方程为
当
时，l在方程y轴上的截距为
由 
可知
在[4，9]上是递减的，
∴ 
直线l在y轴上截距的变化范围为
（22）本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.
（Ⅰ）解：函数
的定义域为
.
令 
当
当
又
故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.
（Ⅱ）证法一：
由（Ⅰ）结论知
由题设 
因此 
所以 
又
综上 
证法二：
设
则 
当
在此
内为减函数.
当
上为增函数.
从而，当
有极小值
因此 
即 
设 
则 
当
因此
上为减函数.
因为 
即 