高考数学高等学校招生全国统一考试27
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）若
的终边所在象限是
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2）对于
，给出下列四个不等式
①
②
③
④
其中成立的是
（A）①与③ （B）①与④ （C）②与③ （D）②与④
（3）已知α、β是不同的两个平面，直线
，命题
无公共点；命题
. 则
的
（A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件
（4）设复数z满足
（A）0 （B）1 （C）
（D）2
（5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是 p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知点
、
，动点
，则点P的轨迹是
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线
（7）已知函数
，则下列命题正确的是
（A）
是周期为1的奇函数 （B）是周期为2的偶函数
（C）是周期为1的非奇非偶函数 （D）是周期为2的非奇非偶函数
（8）已知随机变量
的概率分布如下：
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| m |
则
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知点
、
，动点P满足
. 当点P的纵坐标是
时，
点P到坐标原点的距离是
（A）
（B）
（C）
（D）2
（10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）若函数
的图象（部分）如图所示，则
的取值是
|
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
（A）234 （B）346 （C）350 （D）363
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
|
相切，则此直线在y轴上的截距是
.
（14）
=
.
（15）如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD
为正方形，侧棱与底面边长均为2a，
且
，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是
.
（16）口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，
平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.
|
（Ⅱ）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
（18）（本小题满分12分）
设全集U=R
解关于x的不等式
|
，若（ ∪A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.
（19）（本小题满分12分）
设椭圆方程为
，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足
，点N的坐标为
，当l绕点M旋转时，求：
（Ⅰ）动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）
的最小值与最大值.
（20）（本小题满分12分）
甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系
.
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），
（Ⅰ）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额
（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
（21）（本小题满分14分）
已知函数
的最大值不大于
，又当
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设
（22）（本小题满分12分）
已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的反函数
的导数
（Ⅱ）假设对任意
成立，求实数m的取值范围.
高考数学高等学校招生全国统一考试27
数学试题答案与评分参考
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
（1）D （2）D （3）B （4）C （5）B （6）D
（7）B （8）C （9）A （10）A （11）C （12）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.
（13）1 （14）
（15）a （16）
三、解答题
（17）本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空
间想象能力和推理能力. 满分12分.
（1）证明：连接BD.
为等边三角形.
是AB中点，
…………2分
面ABCD，AB
面ABCD，
面PED，PD面PED，
面PED.…………4分
面PAB，
面PAB. ……………………6分
（2）解：
平面PED，PE面PED，
连接EF，
PED，
|
为二面角P—AB—F的平面角. ………… 9分
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.
在
即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为
…12分
（18）本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满
分12分.
解：（1）由
当
时，解集是R；
当
时，解集是
……………………3分
|
时，（ ∪A）=
；
|
时， ∪A=
……………………5分
因
由
…………8分
|
解得
…12分
（19）本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分
12分.
（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为
记
、
由题设可得点A、B的坐标
、
是方程组
|
|
的解.…………………………2分
将①代入②并化简得，
，所以
于是
…………6分
设点P的坐标为
则
消去参数k得
③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为
………………8分
解法二：设点P的坐标为
，因、
在椭圆上，所以
④
⑤
④—⑤得
，所以
当
时，有
⑥
并且
⑦ 将⑦代入⑥并整理得
⑧
当
时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）
也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
………………8分
（2）解：由点P的轨迹方程知
所以
……10分
故当
，取得最小值，最小值为
时，取得最大值，
最大值为
……………………12分
注：若将
代入
的表达式求解，可参照上述标准给分.
（20）（I）解法一：因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：
w=2000
……2分
因为w=2000
，所以当
时，w取得最大值．
所以乙方取得最大年利润的年产量
吨 ……4分
解法二：因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：
w=2000． ……2分
由
，令
0
得 
．
当t＜t0时，
＞0；当t＞t0时，＜0，所以t=t0时，w取得最大值．
因此乙方取得最大年利润的年产量
（吨）． ……4分
（II）设甲方净收入为u元，则
u=st－0.002t2． ……6分
将代入上式，得甲方净收u与赔付价格s之间的函数关系式
……8分
又
，
令
=0，得s=20．
当s＜20时，＞0；当s＞20时，＜0，所以s=20时，u取得最大值．
因此甲方向乙向要求赔付价格s=20(元/吨)时，获最大净收入． ……12分
注：若将
代入u的表达式求解，可参照上述标准给分．
（21）本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力. 满分14分.
（1）解：由于的最大值不大于
所以
① ………………3分
又
所以
. ②
由①②得
………………6分
（2）证法一：（i）当n=1时，
，不等式
成立；
因
时不等式也成立.
（ii）假设
时，不等式
成立，因为
的
对称轴为
知
为增函数，所以由
得
………………8分
于是有
…………12分
所以当n=k+1时，不等式也成立.
根据（i）（ii）可知，对任何
，不等式
成立.…………14分
证法二：（i）当n=1时，
，不等式成立；
（ii）假设
时不等式成立，即
，则当n=k+1时，
………………8分
因
所以
……12分
于是
因此当n=k+1时，不等式也成立.
根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分
证法三：（i）当n=1时，
不等式成立；
（ii）假设
时.
若
则
①…………8分
若
≤ak＜
，则
0＜ak＋1=
＜
．
＜ ②……12分
由①②知当n=k＋1时，不等式0＜an＜
也成立．
根据（I）（II）可知，对任何n∈N*，不等式an＜成立． ……14分
（22）（I）解：由y=f(x)=ln(ex＋a)得x=ln(ey－a)，所以
y=f－1(x)=ln(ex－a)（x＞lna）． ……3分
(II)解法一：由
＜0得
＜m＜
即对于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有
＜em＜
①
设t=
ex，u(t)=
，u (t)=
，于是不等式①化为
u(t)＜em＜u (t) t∈[3a，4a] ② ……7分
当t1＜t2，t1、t2∈[3a，4a]时，
u(t2)－u(t1)=
＞0
所以
都是增函数.
因此当
时，
的最大值为
的最小值为
而不等式②成立当且仅当
即
，于是得 
………………12分
解法二：由
得
设
于是原不等式对于
恒成立等价于
③…7分
由
，注意到
故有
，从而可
均在
上单调递增，因此不等式③成立当且仅当
即 ………………12分