高考数学高等学校招生全国统一考试31
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，
P（A·B）=P（A）·P（B） 
表示柱体的高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）设集合
那么下列结论正确的是 （A）
（B）
包含Q
（C）
（D）
真包含于P
（2）
不等式
的解集为 （A）
（B） 
（C）
（D）
（3）对任意实数
在下列命题中，真命题是 （A）
是
的必要条件 （B）
是
的必要条件
（C）是的充分条件 （D）是的充分条件
（4）若平面向量
与向量
的夹角是
，且
，则
（A）
（B） 
（C）
（D） 
（5）设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，
、
分别是双曲线的左、右焦点。若
，则
（A）
或
（B） 6 （C） 7 （D）9
（6）若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍，则
= （A）
（B）
（C）
（D）
（7）若过定点
且斜率为
的直线与圆
在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
|
内，定点
C是内异于A和B的动点，
且
那么，动点C在平面内的轨迹是
（A）一条线段，但要去掉两个点
（B）一个圆，但要去掉两个点
（C）一个椭圆，但要去掉两个点
（D）半圆，但要去掉两个点
（9）
函数
的反函数是 （A）
（B）
（C）
（D）
（10）函数
)为增函数的区间是
|
（B）
（C）
（D）
（11）如图，在长方体
中，
，分别过BC、
的两个平行截面将长方体分成
三部分，其体积分别记为
，
,
. 若
，则截面
的面积为 （A）
（B）
（C）
（D）
（12）定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是
，且当
时，
，则
的值为
（A）
（B） （C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.
（13）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为
的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量
.
（14）已知向量
若
与
垂直，则实数等于_______________
（15）如果过两点
和
的直线与抛物线
没有交点，那么实数的取值范围是__________________.
（16）从
中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有______________个.(用数字作答)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知
(I)求
的值；
(II)求
的值.
（18）（本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点.
|
平面
；
(II)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.
（20）（本小题满分12分）
设
是一个公差为
的等差数列，它的前10项和
且
成等比数列.
(I)证明
；
(II)求公差
的值和数列的通项公式.
（21）（本小题满分12分）
已知函数
是R上的奇函数，当
时取得极值
.
(I)求的单调区间和极大值；
(II)证明对任意
不等式
恒成立.
（22）（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点
的准线
与
轴相交于点A，
，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(I) 求椭圆的方程及离心率；
(II)若
求直线PQ的方程.
高考数学高等学校招生全国统一考试31参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
（1）D （2）A （3）B （4）A （5）C （6）A
（7）A （8）B （9）D （10）C （11）C （12）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
（13）80 （14）
（15）
（16）36
三、解答题
（17）本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查运算能力.满分12分.
解：
(I)解：
由 ，有
解得 
……………………4分
(II)解法一：
……………………6分
……………………12分
解法二：由(I)，，得
…………………………6分
于是 
…………………………8分
…………………………10分
代入得
…………………………12分
（18）本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分12分.
(I)解： 所选3人都是男生的概率为 
(II)解：所选3人中恰有1名女生的概率为
(III)解：所选3人中至少有1名女生的概率为
|
方法一：
(I)证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.
底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
在
中，EO是中位线，
.
而
平面EDB且
平面EDB，
所以，
平面EDB. ………………3分
(II) 解：
作
交DC于F.连结BF.设正方形
ABCD的边长为.
底面ABCD，
为DC的中点.
底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故
为直线EB与底面ABCD所成的角.
在
中，
在
中，
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为
…………………………12分
方法二(略)
（20）本小题考查等差数列及其通项公式，等差数列前项和公式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分12分.
(I)证明：因成等比数列，故 
而 是等差数列，有
于是
即 
化简得
(II)解：由条件和
得到
由(I)，
代入上式得 
故
因此，数列的通项公式为
……12分
（21）本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.满分12分.
(I) 解：由奇函数定义，应有
.
即
因此， 
由条件 
为的极值，必有
故
解得
因此， 
当 
时，
，故在单调区间
上是增函数.
当 
时，
，故在单调区间
上是减函数.
当 
时，，故在单调区间
上是增函数.
所以，在
处取得极大值，极大值为
(II)解：由(I)知，
是减函数，且
在
上的最大值
在上的最小值
所以，对任意
恒有
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 满分14分.
(I)解：由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得 
所以椭圆的方程为
，离心率
………………4分
(II)解： 由(I)可得
设直线PQ的方程为
由方程组
得 
依题意 
得
设 
则
①
②
由直线PQ的方程得 
于是
③
④
由①②③④得
从而
所以直线PQ的方程为
或
……………………14分