高等学校全国统一数学高考文试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则
等于（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2．函数
的最小正周期为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．在各项均不为零的等差数列
中，若
，则
（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．下列四个条件中，
是
的必要不充分条件的是（ ）
Ａ．
，
Ｂ．，
Ｃ．
为双曲线，
Ｄ．
，
5．对于
上可导的任意函数
，若满足
，则必有（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．若不等式
对一切
成立，则
的最小值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
7．在
的二项展开式中，若常数项为
，则
等于（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）
Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
10．已知等差数列的前项和为
，若
，且
三点共线（该直线不过点
），则
等于（ ）
Ａ．100 Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．201
11．
为双曲线
的右支上一点，
，
分别是圆
和
上的点，则
的最大值为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
12．某地一天内的气温
（单位：℃）与时刻
（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令
表示时间段
内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（ ）
第II卷
二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．已知向量
，
，则
的最大值为 ．
14．设
的反函数为
，若
，则
．
15．如图，已知正三棱柱
的底面边长为1，高为8，一质点自
点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
点的最短路线的长为 ．
16．已知
为双曲线
的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（ ）
Ａ．
的内切圆的圆心必在直线
上；
Ｂ．的内切圆的圆心必在直线
上；
Ｃ．的内切圆的圆心必在直线
上；
Ｄ．的内切圆必通过点
．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数
在
与
时都取得极值．
（1）求
的值及函数的单调区间；
（2）若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
18．（本小题满分12分）
某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；
（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．
19．（本小题满分12分）
在锐角
中，角所对的边分别为
，已知
，
（1）求
的值；
（2）若
，
，求
的值．
20．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，且
，
，
是
的中点．
（1）求点到面
的距离；
（2）求异面直线
与
所成的角；
（3）求二面角
的大小．
21．（本小题满分12分）
如图，椭圆
的右焦点为
，过点
的一动直线
绕点转动，并且交椭圆于
两点，为线段
的中点．
（1）求点的轨迹
的方程；
（2）若在
的方程中，令
，
．
设轨迹的最高点和最低点分别为和．当
为何值时，
为一个正三角形？
22．（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列，满足：
，且
，
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，
，求
，并确定最小正整数，使为整数．
普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（编辑：ahuazi）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果时间A、B互斥，那么
如果时间A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中R表示球的半径
球的体积公式
，其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则等于（C ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：P＝｛xx³1或x£0｝，Q＝｛xx>1｝故选C
2．函数的最小正周期为（B ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：T＝
，故选B
3．在各项均不为零的等差数列中，若，则（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：设公差为d，则an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，由可得2an－
＝0，解得an＝2（零解舍去），故2×（2n－1）－4n＝－2，故选A
4．下列四个条件中，是的必要不充分条件的是（ D ）
Ａ．，
Ｂ．，
Ｃ．为双曲线，
Ｄ．，
解：A. p不是q的充分条件，也不是必要条件；B. p是q的充要条件；C. p是q的充分条件，不是必要条件；D.正确
5．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（C ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有
f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C
6．若不等式对一切成立，则的最小值为（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝
若³
，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）³0Þ
－
£x£－1
若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝
恒成立，故－1£a£0
综上，有－£a故选C
7．在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ B ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：
，由
解得n＝6故选B
8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（A ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：依题意，各层次数量之比为4:3:2:1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A
9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ B ）
Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B
10．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（A ）
Ａ．100 Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．201
解：依题意，a1＋a200＝1，故选A
11．为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时
PM－PN＝（PF1－2）－（PF2－1）＝10－1＝9故选B
12．某地一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（D ）
解：结合图象及函数的意义可得。
第II卷
二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．已知向量，，则的最大值为
解：＝sinq－cosq＝sin（q－
）£
14．设的反函数为，若，则 2 ．
解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕·〔f－1（x）＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27
\m＋n＝3\f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2
15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 10 ．
解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，
其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。
16．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（ ）
Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｄ．的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是 （A）、（D） （写出所有真命题的代号）．
解：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又点P在双曲线右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，设M点坐标为（x，0），则由F1M－F2M＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数在与时都取得极值．
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（
）＝
，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝
，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
| x | （－¥，－ | － | （－ | 1 | （1，＋¥） |
| f¢（x） | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f（x） | | 极大值 | ¯ | 极小值 | |
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－
）与（1，＋¥）
递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝
＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c
解得c<－1或c>2
18．（本小题满分12分）
某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；
（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．
解：（1）P1＝
（2）法一：P2＝
法二：P2＝
法三：P2＝1－
19．（本小题满分12分）
在锐角中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝
，则
（2）
，则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝
代入余弦定理：
中得
解得b＝
20．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．
（1）求点到面的距离；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求二面角的大小．
解：（1）取BC的中点D，连AD、OD
因为OB＝OC，则OD^BC、AD^BC，\BC^面OAD.
过O点作OH^AD于H，则OH^面ABC，OH的长就
是所求的距离. 又BC＝2，OD＝
＝，又OA^OB，OA^OC \OA^面OBC，则OA^OD
AD＝
＝，在直角三角形OAD中，
有OH＝
（另解：由等体积变换法也可求得答案）
（2）取OA的中点M，连EM、BM，则
EM//AC,ÐBEM是异面直线BE与AC
所成的角，易求得EM＝
，BE＝
，
BM＝
.由余弦定理可求得cosÐBEM＝
，
\ÐBEM＝arccos
（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.
由OC^面OAB，得OC^AB，又OH^面ABC，所以CF^AB，EF^AB，则ÐEFC就是所求的二面角的平面角.
作EG^CF于G，则EG＝OH＝
，在Rt△OAB中，OF＝
在Rt△OEF中，EF＝
\sinÐEFG＝
\
ÐEFG＝arcsin.（或表示为arccos
）
注：此题也可用空间向量的方法求解。
21．（本小题满分12分）
如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若在的方程中，令，
．
设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？
解：如图，（1）设椭圆Q：
（a>b>0）
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则
1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，
由（1）－（2）得
b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为轨迹H的方程可化为：
\M（
，
），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则
tan
＝
＝
，即a2＝3b2.
由于，
，则1＋cosq＋sinq＝3 sinq，得q＝arctan
22．（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列，满足：，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
解：（1）条件可化为
，因此｛
｝为一个等比数列，其公比为2，首项为
，所以＝
…………1°
因an>0，由1°式解出an＝
…………2°
（2）由1°式有Sn＋Tn＝
＝
＝
为使Sn＋Tn＝为整数，当且仅当
为整数.
当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，
当n³3时，
＝
＝
\只需
＝
为整数，因为3n－1与3互质，所以
为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9.