高考普通高等学校招生全国统一考试3
数学（必修本理工农医类）
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
参考公式：
三角函数的和差化积与积化和差公式
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知
，则tg 2x＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）圆锥曲线
的准线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设函数
若f(x0)>1，则x0的取值范围是
（A）（－1，1） （B）（－1，＋∞）
（C）（－∞，－2）∪（0，＋∞） （D）（－∞，－1）∪（1，＋∞）
（4）函数
的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）2
（5）已知圆
及直线
．当直线l被C截得的弦长为
时，则a＝
（A）
（B）
（C） （D）
（6）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
（A）1
（B）
（C）
（D）
（8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）函数f (x)＝sinx，
的反函数f－1(x)＝
（A）－arcsinx，x∈[－1，1] （B）―π―arcsinx，x∈[－1，1]
（C）π＋arcsinx，x∈[－1，1] （D）π－arcsinx，x∈[－1，1]
（10）已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为(x4，0)．若1< x4<2，则tgθ的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）
（A）3 （B）
（C）
（D）6
（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3π （B）4π
（C）
（D）6π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）
展开式中x9的系数是
．
（14）使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是 ．
（15）如图,一个地区分为5个行政区域，现给地
图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种．（以数字作答）
（16）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是
．（写出所有符合要求的图形序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且 z－1 是 z 和 z－2 的等比中项，求 z ．
（18）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．侧棱AA1＝2，D、E分别CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）;
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．
（19）（本小题满分12分）
已知c>0，设
P：函数y＝cx在R上单调递减．
Q：不等式x＋ x－2c > 1 的解集为R．
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
（21）（本小题满分14分）
已知常数a > 0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图）．问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由．
（22）（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）设｛an｝是集合
中所有的数从小到大排列成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，……
将数列｛an｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;
（ii）求a100．
（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
设｛bn｝是集合
中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk
=1160，求k．
普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1）D （2）C （3）D （4）A （5）C （6）B
（7）C （8）D （9）D （10）C （11）B （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
（13）
（14）（－1，0） （15）72
（16）①④⑤
三、解答题：
（17）本小题主要考查复数模、辐角和等比中项的概念，考查运算能力，满分12分。
解：设
，则复数z的实部为
．
∴ 
由题设
即 
∴ 
整理得 r2＋2r－1＝0．
解得 
即 
（18）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．
（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连结EF、FC，
∵ D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴ CDEF为矩形．
连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，
，
∵EF＝1，∴
于是
∵ 
∴ 
∴ 
∴ A1B与平面ABD所成的角是
（Ⅱ）解法一：∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F．
∴ ED⊥面A1AB，
又ED∈面AED，
∴ 平面AED⊥平面A1AB，且面AED∩平面A1AB＝AE．
作A1k⊥AE，垂足为k，
∴ A1k⊥平面AED．即A1k是A1到平面AED的距离．
在△A1AB1中，
∴ A1到平面AED的距离为
解法二：连结A1D，有
∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，
∴ ED⊥平面A1AB．
设A1到平面AED的距离为h．
则 
又 
∴ 
即A1到平面AED的距离为
（19）本小题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基础知识，考查分析和判断能力，满分12分．
解：函数y＝cx在R上单调递减
不等式x＋ x－2c >1的解集为
函数y＝x＋ x－2c 在R上恒大于1，
∵ 
∴ 函数y＝x＋ x－2c 在R上的最小值为2c．
∴ 不等式x＋ x－2c >1的解集为
如果P正确，且Q不正确，则
如果P不正确，且Q正确，则c≥1．
所以c的取值范围为
（20）本小题主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根据所给条件选择适当坐标系和圆的方程等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题能力，满分12分．
解法一：设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60 (km)．
若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60．
由余弦定理知
由于 PO＝300，PQ＝20t，
cos∠OPQ＝cos(θ－45°)
＝cosθcos45°＋sinθsin45°
故 
因此 202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，
即 t2－36t＋288≤0，
解得 12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．
解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向，
在时刻t(h)台风中心
的坐标为
此时台风侵袭的区城是
其中r(t)＝10t+60．
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即 
≤(10t＋60)2，
即 r2－36t＋288≤0，
解得 12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．
（21）本小题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分．
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)．
设
由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2， 4a－4ak)．
直线OF的方程为：2ax＋(2k－1)y＝0， ①
直线GE的方程为：－a (2k－1) x＋y－2a＝0． ②
从①、②消去参数k，得点P(x，y)坐标满足方程2a2x2＋y2－2ay＝0．
整理得
当
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．
当
时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长．
当
时，点P的椭圆两个焦点
的距离之和为定值
当
时，点P的椭圆两个焦点
的距离之和为定值2a．
（22）本小题主要考查数列，排列组合概念等知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分12分．
（Ⅰ）解：（i）第四行 17 18 20 24
第五行 33 34 36 40 48
（ii）解法一：设
，只须确定正整数t0，s0
数列｛an｝中小于
的项构成的子集为
，
其元素个数为 
依题意 
满足上式的最大整数t0为14，所以取t0＝14．
因为
，由此解得s0＝8．
∴ a 100＝214＋28＝16640．
解法二：n为an的下标．
三角形数表第一行第一个元下标为1．
第二行第一个元下标为
……
第t行第一个元下标为
第t行第s个元下标为
该元等于2t＋2t-1．
据此判断a100所在的行．
因为
，所以a100是三角形表第14行的第9个元
a100＝214＋29-1＝16640．
（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
解：bk＝1160＝210＋27＋23．
令 M＝｛c∈B c
<1160｝ （其中，B＝
）．
因M＝｛c∈B c <210｝∪｛c∈B 210 < c<210＋27｝
∪｛c∈B 210＋27< c<210＋27＋23｝．
现在求M的元素个数：
｛c∈B c
<210｝＝
，
其元素个数为
;
｛c∈B 210 < c <210＋27｝＝｛210＋2s＋2r 0≤r<s<7｝
其元素个数为
;
｛c∈B 210＋27 < c <210＋27＋23 ｝＝｛210＋27＋2r 0≤r<3｝，
其元素个数为
．
