第七章直线与圆

普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编

第七章《直线与圆》

一、选择题（共17题）

1．（安徽卷）如果实数满足条件　　那么的最大值为

　　A．　　　　　　　 B．　　　　　　  C．　　　　　  D．

解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B。

2．（安徽卷）直线与圆没有公共点，则的取值范围是

A．　 B．　 C．　D．

解：由圆的圆心到直线大于，且，选A。

3．（福建卷）已知两条直线和互相垂直，则等于

（A）2　　　　（B）1　　　　（C）0　　　　（D）

解析：两条直线和互相垂直，则，∴ a=－1，选D.

4．（广东卷）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是

A. 　 B. 　　 C. 　　　D.

解析：由交点为，

（1）当时可行域是四边形OABC，此时，（2）当时可行域是△OA此时，，故选D.

5．（湖北卷）已知平面区域D由以为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则

A．－2　 　　　　 B．－1　　　　　　C．1　 　　　　 D．4

解：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－，结合可行域可知当直线x＋my＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C

6．（湖南卷）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是　 (　　　)

A.[]　　　　 B.[]　　　　  C.[　　　　  D.

解析：圆整理为，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，　∴ ，∴ ，∴ ，，∴ ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.

7．（湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

A．36　　　　  　　　 B. 18　　　　　　 C. 　　　　　　  D.

解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.

8．（江苏卷）圆的切线方程中有一个是

（A）x－y＝0　　　（B）x＋y＝0　　　（C）x＝0　　　（D）y＝0

【正确解答】直线ax+by=0，则，由排除法，

选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.

9．（全国卷I）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

解析：圆的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B.

10．（山东卷）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是

(A)80　 　 (B) 85　 　　(C) 90　 　　　(D)95

解：画出可行域：

易得A（5.5，4.5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，

z取得最大值，此时z＝90，选C

11．（山东卷）已知x和y是正整数，且满足约束条件则x－2x3y的最小值是

(A)24　 　　 (B)14　 　　 (C)13 　　　　(D)11.5

解：画出可域：如图所示易得

B点坐标为（6，4）且当直线z＝2x＋3y

过点B时z取最大值，此时z＝24，点

C的坐标为（3.5，1.5），过点C时取得最小值，

但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2），

故所求的最小值为14，选B

12．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x²+y²=2相切,则a 的值为(　 )

A.±　 　　　　　B.±2　　　　　　　B.±2　　　　　　　D.±4

解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x²+y²=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选B．

13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为、元。月初一次性购进本月用原料A、B各、千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克、千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为

（A）（B）（C）（D）

解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为，选C.

14．（天津卷）设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（　　）

A．　　　　 　B．　　　　　 C．　　　　　 D．

解析：设变量、满足约束条件在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数的最小值为3，选B.

15．（浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是

(A)　　 　(B)4　　　　  (C) 　　　　　(D)2

【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。

解析：由题知可行域为，

 ，故选择B。

16．(重庆卷)过坐标原点且与x²+y² + 4x+2y+=0相切的直线的方程为

（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x　（C）y=-3x或y=-x　(B) y=3x或y=x　

解析：过坐标原点的直线为，与圆相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径，则，解得，∴ 切线方程为，选A.

17．(重庆卷)以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为

（A）　　（B）

（C）　 （D）

解：r＝＝3，故选C

二、填空题（共18题）

18．（北京卷）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.

解：画出可行域，如图所示：　　　　　　　　　　　　　　　　　 

易得A（2，2），OA＝

B（1，3），OB＝，，C（1，1），OC＝

故OP的最大值为，最小值为.

19．（福建卷）已知实数、满足则的最大值是＿＿＿＿。

解析：已知实数、满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 的最大值是4.

20．（湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为　　　　 。

解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得

，所以的值为－18或8。

21．（湖北卷）若直线y＝kx＋2与圆(x－2)²＋(y－3)²＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是　　　.

解：由直线y＝kx＋2与圆(x－2)²＋(y－3)²＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即<1，解得kÎ(0，)

22．（湖南卷）已知则的最小值是　　　　 .

解析：由，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5.

23．（江苏卷）设变量x、y满足约束条件，则

的最大值为　　　　

【正确解答】 画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点

A(3,4)处，目标函数z最大值为18

24．（江西卷）已知圆M：（x＋cosq）²＋（y－sinq）²＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：

（A）　　　对任意实数k与q，直线l和圆M相切；

（B）　　　对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；

（C）　　　对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切

（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

解：选（B）（D）圆心坐标为（－cosq，sinq），d＝

25．（全国卷I）设，式中变量满足下列条件，则z的最大值为_____________。

解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.

26．（全国II）过点（1，）的直线l将圆(x－2)²＋y²＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝　　　　　　 ．

解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以

27．(上海卷)已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 　　  ．

解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：；

28．(上海卷)已知两条直线若，则____.

解：两条直线若，，则2.

29．(上海卷)已知实数满足，则的最大值是_________.

解析：实数满足，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则的最大值是0.

30．（四川卷）设满足约束条件：，则的最小值为　　　　 ;

解析：设满足约束条件：，在直角坐标系中画出可行域△ABC，其中A(1，)，B(1，8)，C(4，2)，所以的最小值为－6。

31．（天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________．

解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．

32．（天津卷）若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为　　　　　．

解析：若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为。

33．(重庆卷)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.

解析：变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，，目标函数（其中）中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+∞)。

34．(重庆卷)已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为　　　　　  　 。

解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），

C（1，1），D（0，1），若目标函数取

得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有

3a>a＋1且3a>1，解得a>

35．（上海春）已知圆和直线. 若圆与直线没有公共点，则的取值范围是　　　　　　　　　 .

解：由题意知，圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须小于圆的半径 r ．因为 ，所以 ．从而应填 ．