2007年普通高等学校招生全国统一考试
新课标高考（理科）数学模拟试卷一
2007. 2
注意：1．本试卷适合2007年按照新课标《考试大纲》高考的理科考生备考使用．
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项涂在答题卡相应位置．）
1．集合
，且
，则映射
的个数有
A．4 B．3 C．2 D．1
2．若
，则
成立的一个充分不必要的条件是
A.
B. 
C. 
D.
3．若方程
恰有一个零点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
，
，且
，则向量
的坐标为
A．
B．
C．
或
D．
或
5．已知点
，
，点
是圆
上的动点，点
是圆
上的动点，则
的最大值是
A．
B．
C．
D．
6．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为
A． B． C． D．
7．方程
的解所在的区间为
A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）
8．设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若PF1=3，则PF2=
A. 1 B. 1或7 C. 7 D.2
9．已知
中，
，则的面积是
A．
B．
C．2 D．3
10．一水池有2个进水口，1 个出水口，每口进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，Y该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是
A．① B．② C．③ D．①②③
11．在R上定义运算*：x*y=x(1-y)，若不等式(x-a) * (x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
12．如图，该程序运行后输出的结果S=
A．1 B．2 C．6 D．24
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．）
13．复数
(
是虚数单位)的实部为
．
14．在
的展开式中, 
的系数是
．
15．对于线性相关系数r，下列命题：
①如果
，则可以接受统计假设；
②如果
，则表明有99%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；
③如果，则不能接受统计假设；
④ 如果，则表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系.
其中正确的是 .（把你认为正确的命题序号都填上）
16．已知函数
是
上的奇函数，函数
是上的偶函数，且
，当
时，
，则
的值为________.
三．解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知A、B、C是
三内角，向量
，且
，
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若
18．（本小题满分12分）
如图，在正方体
中，
是棱
的中点，
为平面
内一点，
．
（Ⅰ）证明
平面；
（Ⅱ）求
与平面所成的角；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值；
（Ⅳ）若正方体的棱长为
，求三棱锥
的体积.
19．（本小题满分12分）
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药, 对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定: 用1个单位量的水可以洗掉蔬菜上残余农药量的
, 用水越多洗掉的农药量也越多, 但总还有农药残留在蔬菜上. 设用
单位量的水清洗一次后, 蔬菜上残留的农药量与单次清洗前残留的农药量之比为函数
.
(Ⅰ) 试规定
的值, 并解释其实际意义;
(Ⅱ) 试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的主要性质;
(Ⅲ) 设
, 现有
单位量的水, 可以清洗一次, 也可以把水平均分成2 份后清洗两次, 试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少? 说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在
轴上，焦距为4，离心率为
，
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段
所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．
21．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）函数f (x)在（0，+∞）上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（Ⅱ）若当x >0时，
恒成立，求正整数m的最大值．
22．（本小题满分14分）
设
为正整数，规定：
，已知
．
（Ⅰ）解不等式：
；
（Ⅱ）设集合
，对任意
，证明：
；
（Ⅲ）求
的值；
（Ⅳ）若集合
，证明：
中至少包含有
个元素．