2007级调研考试数学参考答案及评分标准
说明：
1、 本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。
2、 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。
3、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4、 给分或扣分以1分为单位，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1．A 2．D 3．C 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
11．
； 12．1200； 13．
； 14．2； 15．
； 16．
三、解答题
17．（Ⅰ）记“甲两次罚球恰好命中一球”为事件A，“乙两次罚球恰好命中一球”为事件B，则P(A) =
, …………………………………… 2分
,
…………………………………… 4分
由题意知，事件A、B相互独立，故
．
答：甲、乙都恰好命中一球的概率为0.24． …………………………………… 6分
（Ⅱ）记“甲获胜”为事件C，“甲得2分且乙得1分”为事件D，“甲得2分且乙得0分”为事件E，“甲得1分且乙得0分”为事件F， ……………………………… 7分
则P(D) =
，
P(E) =
，
P(F) =
． ………………………………… 10分
由于事件D、E、F是互斥事件，故
P(C)=
=0.24．
答：甲获胜的概率为0.24． …………………………………… 12分
18． (Ⅰ) 设点P(x,y),则
，
，
由
得，x2+y2-1=m(x2-1)，
即(1-m)x2+y2=1-m ……………………4分
(1)若1-m=0，即m=1，则方程可化为y=0，P的轨迹是直线y=0；……………………5分
(2)若1-m=1，即m=0，则方程可化为x2+y2=1，P的轨迹是单位圆；…………………6分
(3)若1-m>0且1-m≠1，即m<1且m≠0，方程可化为
，P的轨迹是椭圆；
………………………7分
(4)若1-m<0，即m>1, 方程可化为
，P的轨迹是双曲线．
………………………8分
(Ⅱ) 当动点P的轨迹表示椭圆时，则1-m>0且1-m≠1，即m<1且m≠0，由
得，(2-m)x2+4x+m+3=0．
………………………10分
∵该椭圆与直线l：y=x+2交于不同两点，
∴
>0，即m2+m-2>0，
∴m>1或m<-2．
∵m<1且m≠0，
∴m<-2． ………………………12分
∵该椭圆方程为，
∴e2=
，
∴
．
………………………14分
19．(Ⅰ)连结BD, AC，设他们交于点O，连结EO，FO，
∵ABCD是正方形，∴OD⊥AC．
又∵ED⊥平面ABCD，且OD为ED在平面ABCD内的射影
∴EO⊥AC． 同理FO⊥AC，
∴∠EOF就是二面角E—AC—F的平面角………2分
设DE=
, ∵AB=BF=2DE 
，
∴OE=
，OF=
,EF=
.
∴EO2 +FO2
=EF 2，即
，
∴平面AEC⊥平面AFC． …………………4分
(Ⅱ) 过点C作CP⊥平面AC，且使CP=DE，连结EP，则四边形CDEP是矩形，且CP在平面FBC内，
∵DC
平面FBC，EP∥DC，∴EP⊥平面FBC，
∴∠ECP就是EC与平面FBC所成的角， …………………6分
在Rt△ECP中，EP=2a，CP=a，
∴tan∠ECP=2，
∴EC与平面FBC所成的角为arctan2． …………………8分
(Ⅲ)在EF上存在满足FM=2ME一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥．………10分
作法：由题意知△ACF是等边三角形，顶点M在底面ACF上的射影是△ACF的中心，记作点N，则点N一定在OF上，且FN=2ON，在平面EOF中过N作NM∥OE交EF于点M，则该点就是所求的点M. …………………12分
证明：∵平面AEC⊥平面AFC ,EO⊥AC, 且EO 
平面AEC
∴EO⊥平面AFC,
∵EO∥MN，
∴MN⊥平面AFC,
∵点N是等边三角形△ACF的中心，
∴三棱锥M-ACF是正三棱锥． ……………………14分
20． (Ⅰ) 由
得
，即
．
∵在x∈[-1，1]时恒成立， ………………………………………2分
由于当x= 0时，
=0；当
时，<0；当
时，>0．
故求函数y=在x∈[-1，1]上的最大值，
只需求y=在上的最大值． ………………………………………4分
∵
,令
,
设
则
，
∴
在
上是减函数． ………………………………………6分
∴当x=1时，y=的最大值为
．
∴所求a的取值范围是
． ………………………………………8分
(Ⅱ) 
，
，
由
是方程
的两根，可知是方程
的两根．
故当
时，有
，从而
在
上是减函数．
所以
，
，
由题意，可得
． …………………………………… 11分
∵
，
，
，
∴
=
．
∴=8，解得所求a的值为
． …………………………… 14分
21．（Ⅰ）由
（n=1,2,3, …），
可得
（n=1,2,3, …） ①
∴
②
①-②，可得
，又
，
∴
， ……………………………………4分
即
（n=1,2,3, …） ③
∴
④
④-③，可得
，即
，
∴
（n=1,2,3, …），
∴数列
是等差数列． ……………………………………8分
（Ⅱ）由（1）可知数列是等差数列，设其公差为d，则
，
∴
，
∴
，
又
，∴
（n=1,2,3, …），
∴
…＋
…＋
， ……………………………………12分
记
…＋，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，∵
，
∴
…
…
．
故对一切n
，都有
．
所以对一切n，都有
…＋<
． ……………………………16分
（本题方法较多，其它方法从略）