2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测 试 题 B
学校： 姓名： 营员证号：________
一．
以⊿ABC的三条边作为斜边，分别向形内方向作等腰直角三角形 
若三点
在一直线上，
试求 
的值.
二．
平面上给出
个点
，以这些点为端点的集合为M，线段长度的集合为D，
M中长为
的线段条数记为
证明：
对于D中的最小数
有
.
< 
三．
设
记
.
证明：对每个给定的正整数
数列
中必有一个K次方整数.
四．某人掷硬币，得正面记
分，得背面记
分，
为互质正整数，
），并将每次的得分进行累记，他发现，不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次，恰有
个分值总是记录不到，例如
就是其中之一，试确定
的值。
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题B 解答
学校： 姓名： 营员证号：________
四．
如图，以⊿ABC的三条边作为斜边，分别向形内方向作等腰直角三角形 若三点在一直线上，试求 的值.
解：设
的外心为
，外接圆半径为单位长，
作
于
，则外心在
的中垂线
上，
且圆周角
， 于是，
同理有 
，而
，由于
，则 
，
，因此，
同理有，
因为点共线，则 
，即有
……1
同除以 
，得
，
即 
……2 而在中， 由于
因此由2得
.
五．
平面上给出个点，以这些点为端点的集合为M，线段长度的集合为D，M中长为的线段条数记为
证明：对于D中的最小数有
.<
证：对归纳，当
时显然有
，今设命题对于
个点成立，考虑
个点的情况，设其中一点
是其凸包的顶点，则至多引出
条长度为最小值
的线段.去掉后由归纳假设，剩下个点，连线中至多有
条长为最小值的线段因此，这个点所成的线段中，成立 
，从而命题对一切不小于的皆成立.
称已知点为“红点”，对于每个红点
，若它发出的线段中，有长为的线段
条，则
，而以
为圆心，为半径所作的圆
上有个红点，共作成
条弦，今过每个这种点都作这种等圆以及相应的弦，共得
条弦，每两个圆至多一条公共弦，即这些弦至多重复
条，因此得到
条不同的弦，另一方面，个红点间两两连线，共计条，因此，
，由此，
即
，
因此
六．
设记.
证明：对每个给定的正整数数列中必有一个K次方整数.
证：由于
，故存在
，使
，因此有
，使
再设 
，于是
1
又因 
，所以
2
称1式中的
为数的“余量”，由于，则 
当
时，
，这时
，记
，
则 
所以，
要么是一个
次方数（当
），要么是一个其“余量”比的“余量”小
的数（当
），继续此过程，可知，经有限项后，必有某项
是一个次方数.
当 
时，
则
，记
，则
若
则 
为一个次方数；
若
则 
是一个其“余量”比的“余量”少的数；
若
则 
它们都归结为情形
当 
时，
归结为情形
综合以上讨论，知本题结论成立.
四．某人掷硬币，得正面记分，得背面记分，为互质正整数，），并将每次的得分进行累记，他发现，不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次，恰有个分值总是记录不到，例如就是其中之一，试确定的值.
解：设此人掷得正面
次，背面
次，则累计得分为 
，若 
则对任一个不能被整除的正整数分值，他都记录不到，也就是有无穷多个数记录不到，所以
. 现在设
为掷币人能够记录到的一个分值，则方程 
至少有一组非负整解，（即直线上至少有一整点位于闭的第一象限内），
（1）.若
，因为，则个正整数
构成模的完全剩余系，其中恰有一个是的倍数，即此时方程 有非负整数解。也就是能被记录到，因此掷币人能够记录到的分值应满足：
.
(2).当，因为，则直线上至少有一整点位于闭的第一象限内，事实上，设闭的第一象限内有两个整点
在直线上，则直线
的斜率 
满足 
，但由直线 
，则
，而由截距，
知 
不是既约分数，矛盾。据此知，在
闭的第一象限内，满足
的整点与满足且可记录到的分值，一 一对应，因为闭矩形
内有
个整点，故在
闭的第一象限内，满足的整点数为
个，从而满足的
个数值中，不能记录到的数值的个数为：
.
所以 
，由
，而
，故仅有 
及 
可能适合；若取，则
能够记录到，不合题意，再考察 
上的整点，显然此方程没有非负整解，即分值记录不到，因此是合于题意的唯一解.