2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C （陶平生供题）
学校 姓名 营员证号
一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.
二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.
求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.
三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数
的最小值.
四、n个白子A与n个黑子B（n≥3），依次不留间隙地排成一行：AA……ABB……B，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.
证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙.
（附：当n=3时，操作如图所示）
初始状态 AAABBB
第一次操作后 ABBBAA
第二次操作后 ABB ABA
第三次操作后 BABABA
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C解答 （陶平生供题）
学校 姓名 营员证号
一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.
证明：为叙述方便，将内切球O在面
上的切点分别改记为
，于是，
，设球O的半径为
,棱
面
，设垂足为
，则
， 因为 
， 则 
，故
，所以 
，即是说，棱
关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。
在
中，设
，则 
1
于是，
在
中，设
，因为 
，所以
，于是 
2
在
中，
，设 
，
则 
3
在
中，
，
则 
4
3+4得，
，据此及2得，
，所以 
5
由 1、5得，
故4式化为 
……6
由 1、6得，
，即 
，也即
二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.
求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.
证明：设
及
分别是四个圆的圆心，其半径分别为
与
，的内切圆半径为，显然，
为的三条内角平分线，故相交于其内心
.设
（定值）.
记
，
，对于
，因为⊙O
与
的切点
在连心线
上，点
在
的延长线上，则直线
必与线段
相交，其交点设为
.
同理可设，直线 
.只须证
重合.
直线截于
，由梅尼劳斯定理，
，
即
1
同理有
2 ,以及 
3
易知 
，所以 
，从而
，故
，所以，
，因此共点，即
交于一点.
三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数
的最小值.
解：显然
没有上界，这是由于，当
时，
，
又注意是一个零次齐次函数，且当
时，的值为
以下证明，对于满足条件的任何正数
均有
，即要证
……1
据条件，
设 
则 
1式化为：
……2
活化一个常量，改记1为
，且设
则 
皆为的四次多项式，而 
为的二次多项式.
记 
为证2式成立，即要证，
于是只要证，
，
，
.
易知，
.
.
以上用到，
，
，以及
.
.
以上用到，
.
.
故
.因此，函数
的最小值是.
四、n个白子A与n个黑子B（n≥3），依次不留间隙地排成一行：AA……ABB……B，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.
证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙.
（附：当n=3时，操作如图所示）
初始状态 AAABBB
第一次操作后 ABBBAA
第二次操作后 ABB ABA
第三次操作后 BABABA
证 ：当
时，对归纳：
时， 初始状态为： AAAABBBB
第一次操作后： A ABBBBAA
第二次操作后： ABBA BBAA
第三次操作后： ABBABAB A
第四次操作后： BABABABA
为表达方便，用数字
表示“将自左向右数的第
枚棋子取出，跨过某些棋子向右平移至最先出现的空位上”这一操作；而数字
表示“将自右向左数的第枚棋子取出，跨过某些棋子向左平移至最先出现的空位上”这一操作；于是，施于对棋子的操作步骤
便可用一个元有序数组
来表示.
因此，
，
，
，…….
我们注意到，在
中，都恰有一次操作“1”，即当全部操作完成后，棋子已黑白相间排列（以黑子B开头），且整行向右移动了两子的位置.
以下证明，当
时，个相连的白子和个相连的黑子排成一行，可经次移动两子的操作，使黑白相间（以黑子B开头），且整行向右移动了两子的位置.
对归纳：当
时，结论已成立，今设结论对于n成立，考虑n+4对棋子的情形，如有
对棋子黑白分段排列于一行（白子在前）：
AAAAA…AB…BBBBB
为此，采用“杠中开花”的办法，我们设想，先把中间加方框的对（
个）棋子收藏于一条“竖杠”中，成为四对棋子的一个排列：
AAAA┃BBBB
现对这四对棋子进行
中的前两步操作：
第一次操作后： A A│BBBBAA
第二次操作后： ABBA┃ BBAA
经这两次操作后，中间（竖杠右侧）已出现两子空位，然后，对竖杠所代表
对加方框的棋子进行次操作，据归纳假设，可使黑白相间（加方框的棋子中，黑子B在前，且其前面有两子空位）：
ABBA BABA…BABBAA
这次操作算作
的第
次操作。再把加方框的对棋子收藏于一条竖杠中，又成为四对棋子的排列（竖杠左侧有两子空位）：
ABBA
┃BBAA，对图中的四对棋子进行
的后两次操作，成为：
ABBABA│B A
BABA│BABA
即得到黑白间隔排列（黑子在前，竖杠左侧的两子空位已被填充，整行无间隙.）
现恢复竖杠所代表对加方框的棋子，于是，上述两次操作就成为的第
次操作。且这对棋子已黑白相间（黑子在前，整行无间隙,且右移了两子空位）.
BABABA…BABABABA
据归纳法，知所证结论成立。