2007年高考数学周练试卷（四）理科
一、选择题
1．已知－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，则2a＋3b的范围是( )
A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，)
2．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，若B＝{1，2}，则A∩B为( )
A．φ B．{1} C．φ或{2} D．φ或{1}
3．某银行储蓄卡的密码是一个4位数，某人用千位、百位上的数字之积作为十位，个位上的数字(如2816)的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0，这样设计出来的密码有( )
A．90个 B．99个 C．100个 D．112个
4．已知命题P、Q，则“P且Q为假命题”是“¬P或Q为假命题”的( )
A．仅充分条件 B．仅必要条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
5．已知锐角α终边上一点的坐标为(2sin3，－2cos3)，若一扇形的中心角为α且半径为2，则该扇形的面积为( ) A．6 B．6－π C．2π－6 D．以上都不对
6．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为( )
A． B． C． D．
7．已知函数f(x)，g(x)，(x∈R)，设不等式f(x)＋g(x)＜a(a＞0)的解集为M，不等式f(x)＋g(x)＜a(a＞0)的解集为N，则( )
A．N EMBED \* MERGEFORMAT ≠M B．M＝N C．M EMBED \* MERGEFORMAT ≠N D．M EMBED \* MERGEFORMAT －N
8．若＝，＝2，且(－)⊥，则与的夹角是( )
A． B． C． D．
9．把直线x－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )
A．3或13 B．－3或13 C．3或－13 D．－3或－13
10．在正项等差数列{an}中，前n项和为Sn，在正项等比数列{bn}中，前n项和为Tn，若a15＝b5，a30＝b20，则∈( )
A．(0，1) B．(，1) C．[1，＋∞] D．[，2]
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
二、填空题
11．已知＝(2，2cos120°)，则与同向共线的单位向量＝＿＿＿＿．
12．设一个三角形的三边长为x，y，，则最长边与最短边的夹角等于( )
13．抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1(n∈N＋)，交x轴于An，Bn两点，则A1B1＋A2B2＋…＋A2005B2005的值为＿
14．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(2x＋1)＞f(2－x)的解集为＿＿＿．
15．若函数
的表达式是
16．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）.则五位“渐升数”共有
个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 .
三、解答题
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知＝(bcosc，－1)，＝((c－3a)cosB，1)，且与为共线向量，求sinB．
18．已知f(x)＝－4cos2x＋4asinxcosx，将f(x)图象按向量＝(－，2)平移后，图象关于直线x＝对称．(1)求实数a的值，并求f(x)取得最大值时x的集合；(2)求f(x)的单调区间．
19．设a＞0，解关于x的不等式log2＜1．
20．有一块边长为4米的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)，有人用数学知识作了如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长．
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积v1；
(2)由于上述设计对材料有所浪费，请你重新设计，减少浪费，而且所得长方体容器的容积v2＞v1．
21．今有甲、乙两个篮球队进行比赛，规定两队中有一队胜4场则整个比赛宣告结束．假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是
．并记需要比赛的场数为ξ．
（Ⅰ）求ξ大于5的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列与数学期望．
22．设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y，总有f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．
(1)求f(0)的值；(2)证明：当x＜0时，f(x)＞1；
(3)证明：f(x)在R上单调递减；(4)若M＝{yf(y)·f(1－a)≥f(1)}，N＝{yf(ax2＋x＋1－y)＝1，x∈R}，且M∩N≠φ，求a的取值范围．
2007年高考数学周练试卷（四）参考答案
1．D 2．D 3．C 4．B
5．B 解：∵2sin3＞0，－2cos3＞0，∴α为锐角，又sinα＝＝－cos3＝－sin(－3)＝sin(3－)，∴α＝3－，∴S＝R2α＝2(3－)＝6－π．
6．D 解：P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1
a＝．
∴P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝．
7． D 解：特例法：如：3x＋－2x＜5M：－1＜x＜1
3x－2x＜5N：－5＜x＜5 ∴M EMBED \*
MERGEFORMAT －N
3x＋2x＜5N：－1＜x＜1．
8．B 9．A
10．C 解：等差数列各项在一直线上，等比数列在一指数
函数图象上，易知C成立．
11．(，－)．
12．60°． 解：不妨设x＜y，易得x＜＜y，
∴cosα＝＝，∴α＝60°．
13． 解：令y＝0得x1＝，x2＝．∴AnBn＝－．
∴A1B1＋…＋A2005B2005＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝．
14．{xx＜－3或x＞} 解：依题得：f(2x＋1)＞f(2－x)
2x＋1＞2－x 平方得：3x2＋8x－3＞0x＜－3或x＞．
15． 
16． 126, 24789
17．解：∵与共线，∴x1y2－x2y1＝bcosC＋(C－3a)cosB＝0
sinBcosC＋(sinC－3sinA)cosB＝0
sin(B＋C)＝3sinAcosBcosB＝，sinB＝．
18．(1)f(x)＝2asin2x－2cos2x－2按＝(－，2)平移后为g(x)＝f(x＋)＋2
＝2acos2x＋2sin2x．
∵g(x)图象关于x＝对称，∴g(0)＝g()
2a＝a＋，∴a＝1，f(x)＝4sin(2x－)－2
当f(x)max＝2时，2x－＝2kπ＋即x∈{xx＝kπ＋，k∈z}．
(2)当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈z时，f(x)递增．
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈z时，f(x)递减．
19．解：log2＜10＜＜2，由＞0且a＞0x＜0或x＞1．
由＜2
(x－1)[(a－2)x＋2]＜0 ①
当a＝2时，x＜1
当a＞2时，①化为(x－1)(x＋)＜0＜x＜1．
当0＜a＜2时，①化为(x－1)(x＋)＞0x＜1或＞．
综上述：当a＝2时，原不等式解为x＜0．
当a＞2时，原不等式解为＜x＜0．
当0＜a＜2时，原不等式解为x＜0或x＞．
20．(1)设切去的小正方形边长为x，则长方体底面边长为4－2x，高为x，
∴V1＝(4－2x)2·x＝4(x3－4x2＋4x)(0＜x＜2)
∴V1'＝4(3x2－8x＋4)＝12(x－)(x－2)
当x＜时，V1'＞0，当＜x＜2时，V1'＜0．
∴当x＝时，V1max＝．
(2)重新设计如下：如图示：
先在正方形一边的两个角处各切下一个边长为1米的小正方形，
再将这两个小正方形焊在另一边的中间，然后焊成长方体容器，其
容积V2＝3×2×1＝6m3＞V1．
21．解：（Ⅰ）依题意可知，ξ的可能取值最小为4．
当ξ=4时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着甲连胜4场，或乙连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得
P（ξ=4）=2C
=
…………2分
当ξ=5时，需要比赛5场整个比赛结束，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或者乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜．显然这两种情况是互斥的，于是
P（ξ=5）=2[C
]·=
…………4分
∴ P（ξ>5）=1−[P（ξ=4）+P（ξ=5）]=1−[+]=
即ξ>5的概率为． …………6分
（Ⅱ）∵ ξ的可能取值为4，5，6，7，仿照（Ⅰ），可得
P（ξ=6）=2[C
]·=
…………7分
P（ξ=7）=2[C
]·= …………8分
∴ξ的分布列为：
| ξ | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P |
|
|
|
|
…………10分
ξ的数学期望为：
Eξ=4·+5·+6·+7·=
． …………12分
22．解：(1)显然，f(x)不恒等于0，令x＝1，y＝0时，得f(0)＝1；
(2)令y＝－x≥0则1＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，即f(－x)＝．
由题0＜f(－x)＜1 ∴f(x)＞1；
(3)设x1＜x2，则x2－x1＞0，由题得(2)知f(x)＞0．
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)[f(x2－x1)－1]＜0 ∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)在R上单调递减；
(4)由已知及(3)得：M＝{yy≤a}，N＝{yy＝ax2＋x＋1，x∈R}
显然，当a≤0时，M∩N≠φ
当a＞0时，N＝{yy＝a(x＋)2＋1－，x∈R}
要使M∩N≠φ，必须1－≤a．
即4a2－4a＋1≥0a∈R
故所求的a的取值范围是a∈R．