2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题D
学校 姓名 营员证号
一 . 求证: 
中有无穷多个平方数.
二 .
求所有函数
,在零点连续 ,且
三 . 如果素数p和自然数n满足 
,
证明: 
四 . 设ABCD为凸四边形, AC交BD于P ，
的内心依次为
.
求证: 四点共圆当且仅当四边形ABCD有内切圆.
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题D解答
学校： 姓名： 营员证号：
1.
求证:中有无穷多个平方数.
引理: 
有无穷多组正整数解.
证明:首先有
.令
.设(u,v)是
的一组正整数解,则若
.令
,则
=
显然.
,故
有无穷多组正整数解.引理得证.
取足够大的N,使得
时,
考虑
.
所以 
.
为完全平方数.证毕!
2.
求所有函数
,在零点连续,且
(*)
解:令 
（1）
而
所以 f (0)=0
由(1)有 f(2f(y))=y+f(y)
(2)
在(*)中令 
故 f(f(y)=f(
f(y))+y+f(y)
再在(*)中令 y=f(x)
f(x+2f(f(x))=f(f(x))
由(*)中f(x)为单射,故x+2f(f(x))= f(x),
将x换成y,有
(2')
(3)
所以由(2)有 f(4f(f(y)))=f(2f(2f(y)))=2f(y)+f(2f(y))=2f(y)+2f(f(y))=3f(y)+y
另一方面
f(4f(f(y))=f(2(y+f(y))=f(2y)+y+f(y)
所以 f(2y)=2f(y) (4)
故由(*)及(4)有 f(x+f(2y))=f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)=f(x)+2f(f(y))=f(x)+f(f(2y))
所以 f(x+
f(y))= f(x)+ f(f(y))
(5)
于是,易知: f(kf(y))=kf(f(y))
f(ky+y+f(y))= f((k+1)y) +f(f(y))= f(ky+f(f(2y)))=
=
所以
f((k+1)y)= f(ky) +f(y) 
f(ky)=kf(y)
当
时,亦有 f(ky)=kf(y)
(6)
(由(2'))
所以 f(x+y)= f(x + f(2 f(y)
y))
(由(5))
= f(x) + f(y)
由于f(x)在零点连续,所以f(x)在所有点连续,故
f(x)=cx (c为常数)
解得
c=1或
所以 
经检验均满足条件.
3.
如果素数p和自然数n满足,证明:.
证明:引理:
引理的证明 ,只要证明
而
=
(李善兰恒等式)
=
引理证毕.
对原命题:
中
的系数
因 
故
无素数因子p,而
故
中必有一数大于p,从而 
,故
,又
.证毕.
4. 
设ABCD为凸四边形,AC交BD于P.的内心依次为.求证:四点共圆当且仅当ABCD有内切圆.
证明: 先证明必要性.当
四点共圆时,
(1)
设PA=x, PB=y, PC=z,
PD=w.
AB=a, BC=b,
CD=c, DA=d.
(
为
的半径)
从而可知(1)
(2)
故(2)
(3)
设a+c
,则 
因为 
故 
(
由(3)式,有:
它们均等于1,
.必要性证毕.
充分性.由上述证明可以知道
,从而(2)成立.
得出四点共圆,证毕.