2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题E
学校： 姓名： 营员证号：
一、 设
是实数，使得：
对任意的实数x成立，求
的值。
二、 证明下面的不等式对任意自然数n成立：
其中[x]表示不超过x的最大整数
三、 在一个九人小班中。已知没有4个人是相互认识的。求证：这个小班能分成4个小组,使得在每个小组的人是互不认识的。
四、 设
是实数使得
对任意实数x成立。问中,最多能有多少个正
实数？
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题E解答
学校： 姓名： 营员证号：
五、
设是实数，使得：
对任意的实数x成立，求的值。
解：令
，则多项式
在上半单位圆周上至少有
个复根.事实上，若
，即
记
则
，取
，则
，
，
，因此
，只须说明，对每个实数
，关于
的方程 
在
中至少有个解.这是由于，若
，则当 
，
有
；
若
，对于，注意
，因此
，从而
，即
在
上至少有一个解.因此在
上至少有个根.
回到本题，设在上半单位圆周上的个根为
，则其共轭复数
也是它的根，因此 
，
由此得 
，
，又因 
，故
.即有
.
六、
证明下面的不等式对任意自然数
成立：
其中
表示不超过
的最大整数。
证：由于
，改记
为，易知
表示由曲线
与
所围区域中的整点数，即由同一条曲线
与 所围区域中的整点数，因此
（由归纳法易得，
），由此 
.
七、 在一个九人小班中，已知没有4个人是相互认识的；
求证：这个班能分成4个小组,使得每个小组中的人是互不认识的.
证：以九个点表示这九个人，如果某两人相识，则在相应两点间连红线，如不相识，则连蓝线，如此得九阶两色完全图
.
引理：九阶红蓝两色完全图中，若不存在红色
，则必存在蓝色
.
引理证明：若中有一点
发出的蓝线
条，设为
，据条件，
之间至少有一条蓝边，例如
，则
构成蓝色，
若中每点发出的蓝线
条，即每点发出的红线
条，由于中“红度”奇顶点个数为偶数，其中必有一点发出的红线
条，设
为红线
，而由
组成的两色
中，据Ramsey定理，必有单色，且必是蓝色的.(若
为红色，则
组成红色，不合条件).
回到本题，设为蓝色；在由
组成的中，必有蓝边，设为
；在由
组成的中，必有蓝边，设为
；这样可将九个点分为四组：
，同组的人互不认识.
八、
设
是实数，使得
对任意实数成立。
问：
中,最多能有多少个正实数？
解：由于对任意实数，有，……1 记
，上式化为，
，
……2
因此判别式
，即
，若所有的
则
，于是
，即
，矛盾.因此
中必有负数. 即其中的正数个数至多
个，
以下说明，存在个正数和
个负数组成的
，满足本题的条件.
为此取
，其余
皆为，则
当
时，1式成为 
……3
即 
显然此式对一切
皆成立；
当
时，2成为
，显然此式对一切也成立.因此，
中,最多有个正实数.